u (u u X) (дополнение к классу X).

u (u D (X) v ( X)) (об­ласть определения класса X).

(объединение классов Х и Y).

V = (универсальный класс).

X − Y = X ∩

Общая теорема о существовании классов.

Предложение 4. Пусть φ (X1,…,Xn, Y1,…, Ym) – формула, перемен­ные которой берутся лишь из числа X1,…,Xn, Y1,…, Ym . Назовём такую фор­мулу предикативной, если в ней связными являются только переменные для множеств (т.е. если она может быть приведена к такому виду с помощью принятых сокращений). Для всякой предикативной формулы φ (X1,…,Xn, Y1,…, Ym)

Zx1 …xn ( Z φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).

Доказательство. Мы можем ограничиться рассмотрением только та­ких формул φ, которые не содержат подформул вида Yi W, так как всякая та­кая подформула может быть заменена на x (x = Yi & x W), что в свою оче­редь эквивалентно формуле x (z (z x z Yi) & x W). Можно также предполагать, что в φ не содержатся подфор­мулы вида XX, которые могут быть заменены на u (u = X & u X), последнее же эквивалентно u (z (z u z X) & u X). Доказа­тельство проведем теперь индук­цией по числу k логических связок и кванторов, входящих в формулу φ (за­писанную с ограниченными пере­менными для множеств).

1. Пусть k = 0. Формула φ имеет вид xi xj, или xj xi, или xi Yi, где 1 ≤ i < j ≤ n. В первом случае, по аксиоме В1, сущест­вует некоторый класс W1 такой, что

xixj (W1 xi xj).

Во втором случае, по той же аксиоме, существует класс W2 такой, что

xixj (W2 xj xi),

и тогда, в силу

XZ u v ( Z X),

существует класс W3 такой, что

xixj (W3 xj xi).

Итак, в любом из первых двух случаев существует класс W3 такой, что

xixj (W φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).

Тогда, заменив в

XZ v1…vkuw ( Z X)