при X = и получим класс Z1 такой, что

x1 … xn ( Z1x ψ (x1,…, xn, x, Y1,…, Ym)).

Теперь положим окончательно Z = , замечая, что x ψ эквивалентно

x ψ.

Примеры. 1. Пусть φ (X, Y1, Y2) есть формула uv (X = & u Y1 & v Y2). Здесь кванторы связывают только перемен­ные для множеств. Поэтому, в силу теоремы о существовании классов, Z x (x Z uv (x = & u Y1 & v Y2)), а на основании аксиомы объемности, 1Z x (x Z uv (x = & u Y1 & v Y2)). Поэтому возможно следующее определение, вводящее новую функциональную букву :

Определение. x (x Y1 Y2 uv (x = & u Y1 & v Y2)). (Декартово произведение классов Y1 и Y2).

Определения.

X2 обозначает X X (в частности, V2 обозначает класс всех упо­рядоченных пар).

…………………………………………………………………………………………………

Xn обозначает Xn-1 X (в частности, Vn обозначает класс всех упо­рядоченных n-ок).

Rel(X) служит сокращением для Х V2 (X есть отношение).

2. Пусть φ (X, Y) обозначает Х Y. По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности, 1Zx (x Z x Y). Таким образом, существует классZ, элементами которого являются все подмножества класса Y.

Определение. x (x P (Y) x Y). (P (Y): класс всех под­множеств класса Y.)

3. Рассмотрим в качестве φ (X, Y) формулу v (X v & v Y).

По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объем­ности, 1Zx (x Z v (x v & v Y)), т.е. существует един­ственный класс Z, элементами которого являются все элементы элемен­тов класса Y и только они.

Определение. x (x (Y) v (x v & v Y)). ((Y): объединение всех элементов класса Y)

4. Пусть φ (X) есть u (X = ). По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности, существует единственный класс Z такой, что x (x Z u (x = )).