Для решения данной задачи рекомендуется построить экономико-математическую модель ситуации (ЭММ). Построение ЭММ предполагает представление исходных данных в виде равенств и уравнений с дальнейшей обработкой данных на вычислительной технике.

Как уже говорилось мы имеем ограничения двух видов. Составим уравнения для ограничений по сырью. Обозначим число изделий через Хij, где i — номер ткани по порядку, j — номер варианта раскроя. Так на пример, для ткани шириной 102 см, зная норму расхода ткани на изделие по варианту 1 и предполагая, что число раскроенных полотен будет равно Х11, можно записать, что: расход ткани длинной 102 см. по первому варианту будет равен 4,16 Х11 . Тогда расход этой ткани по всем вариантам на должен превышать имеющегося запаса и имеет место неравенство:

По такой же методике составляются неравенства по другим тканям, и тогда:

Теперь напишем ограничения по выпуску. Если мы условились, что выпуск будет обозначаться буквой Хij, где i — номер ткани по порядку, j — номер варианта раскроя, тогда выпуск по каждому варианту не должен быть менее, чем этого требует заказ. И неравенство будет выглядеть так:

То же самое используется в остальных вариантах:

Ограничения составлены, но не сделана еще очень важная часть модели: не написана формула целевой функции. Целевая функция — это формализованный вопрос задачи. Нам нужно получить минимум отходов, а значит, зная нормы потерь (Табл. 6), можно записать:

Так же математическая модель должна содержать условие неотрицательности переменных, которое записывается:

, i=1 .n; j=1 .m

где, n — номер ткани, m — номер варианта раскроя. Это условие имеет также экономический смысл, т.к. нельзя раскроить отрицательное число полотен. Для нашего случая i=j=3. Окончательно наша ЭММ примет вид:

, i=1,2,3; j=1,2,3

Мы построили экономико-математическую модель в общем виде, но чтобы ЭВМ смогла эту модель обработать на необходимо проделать еще набор определенных действий над моделью. Нам нужно неравенства превратить в равенство. Для этого вводятся “фиктивные переменные”, которые также имеют экономическое толкование. В первых трех неравенствах к левым частям прибавляют по переменной, а в остальным трех неравенствах из левых частей вычитают по переменной.

Преобразованная ЭММ будет иметь вид:

Переменные a, b, c — это возможные остатки ткани при неполном использовании запаса ткани ширин соответственно 102, 104 и 106 см. Переменные d, e, f — возможное количество полотен, раскроенных сверх потребности. По своему содержанию фиктивные переменные не влияют на целевую функцию, следовательно входят в нее с коэффициентом равным нулю. Надо сказать , что в зависимости от конкретной ситуации фиктивные переменные могу и влиять на целевую функцию, но мы для простоты отбросим это влияние. Тогда целевая функция будет выглядеть:

Готовая к обработке ЭММ:

, i=1,2,3; j=1,2,3

Эту задачу решим симплекс-методом. После ввода данных в компьютер, ЭВМ на выдала следующие данные:

, , , , , , остальные переменные равны . нулю.

Это означает, что: ткани шириной 102 см. нужно раскроить 193 полотна по третьему варианту; шириной 104 см. — 200 полотен по варианту 1, 2 полотна по варианту 2 и 34 полотна по варианту 3; шириной 106 см. — 195 полотен по варианту 2. Переменная е показывает, что мы имеем запас ткани шириной 104 см. на 41 полотно.

Далее ЭВМ предоставляет данные о использовании об ограничениях и их использовании (Табл.7).

Из таблицы видно, что ткань шириной 102 см. использована полностью; шириной 104см. из 980 метров только 977,11 м.; шириной 106 см. из 810 м. только 809,25 м. Плановые выпуски по вариантам 1 и 3 достигнуты, а по варианту 2 имеется довольно значительный запас. Дальнейшие действия по данному варианту зависят от политики руководства предприятия.