Не вызывает сомнений тот факт, что Лаплас относится к числу величайших математиков, оказавших огромное влияние на развитие науки, к числу тех людей, вклад которых мало кто сегодня возьмётся сравнивать. А какое место в научном мире отводили ему современники? Этот вопрос вызывает интерес потому, что жил и работал Лаплас в эпоху расцвета математической науки, и в одно время с ним трудилось немало замечательных учёных. Однако единственным человеком, достигшем столь же значительных высот был Жозеф Луи Лежандр. Лагранж и Лаплас, два ведущих французских ученых XVIII столетия, были во многом противоположны друг другу, и одно типичное различие между ними становилось все более острым по мере развития математики: Лаплас принадлежал к племени мате­матических физиков, Лагранж — чистых математиков. Пуассон, сам являясь представителем математической физики, кажется, отдавал предпочтение Лапласу как ученому более желательного типа: «Имеется глубокое различие между Лагранжем и Лапласом во всей их деятельности, касалась ли она изучения чисел или либ­рации Луны. Лагранж часто, казалось, видел в рассматриваемых вопросах только математику, для которой сами вопросы были слу­чайностью, следовательно, высшую ценность он придавал изящест­ву и общности рассмотрения. Лаплас усматривал в математике главным образом орудие, которое он хитроумно приспосабливал, чтобы оно подходило к каждой специальной задаче, как только она возникала. Один был великим математиком, другой — великим философом, пытавшимся познать природу, заставляя высшую мате­матику служить этому». Фурье также поражался коренному разли­чию между Лагранжем и Лапласом. Будучи сам скорее узким «прак­тиком» по своим математическим данным, Фурье смог все же оценить истинное достоинство Лагранжа: «Лагранж был не менее великим философом, чем великим математиком. Всей своей жизнью, скром­ными желаниями он доказал свою неизменную преданность об­щим интересам человечества, — благородной простотой манер, возвышенным характером и, наконец, точностью и глубиной своих научных трудов».

Весьма знаменательно, что это высказывание исходит от Фурье. Оно верно, по крайней мере, теперь. Величайшее влияние Лагранжа на современную математику обязано именно «точности и глубине его научных трудов» — качествам, которые часто отсутствуют в шедеврах Лапласа.

Для большинства современников и непосредственных последова­телей Лаплас выглядел крупнее Лагранжа. Отчасти этому способ­ствовала значительность проблемы, которой занимался Лаплас, — грандиозный замысел доказательства, что Солнечная система яв­ляется гигантским вечным двигателем. Замысел сам по себе был, несомненно, величественным, но, по существу, иллюзорным. Во время Лапласа, и даже в наше время, того, что известно о физиче­ской вселенной, недостаточно, чтобы придать проблеме определен­ное реальное значение, и, вероятно, пройдет еще много лет, прежде чем математика достаточно продвинется вперед, чтобы обработать усложненную массу имеющихся теперь данных. Астрономы-теоре­тики будут, несомненно, продолжать возиться с идеализированными моделями «Вселенной» или даже со значительно менее впечатляю­щими моделями Солнечной системы и будут продолжать наводнять нас вселяющими бодрость или отчаяние сообщениями о судьбе человечества, но, в конечном счете, только побочный продукт их ис­следований (совершенствование чисто математических средств, придуманных ими) останется перманентным вкладом в развитие науки точно так же, как это случилось с Лапласом.

К числу практически полезных результатов, полученных им можно отнести следующее.

Изучая устройство Солнечной системы, Лаплас пришёл к выводу, что кольцо Сатурна не может быть сплошным, так как в этом случае оно было бы неустойчивым, и предсказал открытие сильного сжатия Сатурна у полюсов.

В 1789 году Лаплас рассматривал теорию движения спутников Юпитера под действием взаимного возмущения и притяжения к Солнцу. Он получил полное согласие теории с наблюдениями и установил ряд закономерностей этих движений.

Одной же из главных его заслуг является открытие причин ускорения в движении Луны. В 1787 году Лаплас показал, что скорость движения Луны зависит от эксцентриситета земной орбиты, а последняя меняется под действием притяжения планет. Так же им было установлено, что это возмущение не вековое, а долгопериодическое, и что в последствии Луна будет двигаться замедленно. По неравенствам в движении Луны Лаплас определил величину сжатия Земли у полюсов. И именно ему принадлежит разработка динамических законов приливов.

Если оценка труда Лапласа кажется слишком сильной, да­вайте познакомимся с судьбой «Небесной механики». Верит ли дей­ствительно сейчас кто-нибудь, кроме ортодоксальных математиков, что заключение Лапласа об устойчивости Солнечной системы явля­ется надежным суждением о бесконечно усложненной ситуации, которую Лаплас заменил идеализированной схемой? Возможно, многие верят, но ни один работающий в математической физике не сомневается в мощи и полезности математических методов, развитых Лапласом, когда он занимался своей идеальной мечтой.

Приведем только один пример. Теория потенциала стала сейчас значительно более важной, чем когда-либо мог мечтать Лаплас. Без содержащейся в этой теории математики мы должны были бы остановиться почти у самых начал наших попыток постичь электро­магнетизм. Из этой теории выросла мощная область математики граничных задач, сегодня значительно более важная для физической науки, чем вся ньютоновская теория тяготения. Понятие потенциала было вдохновляющей математической идеей высшего класса — оно позволило атаковать физические проблемы, к которым другим путем невозможно было бы подступиться.

Потенциал — это просто функция , описанная в связи с рас­смотрением движения жидкости и уравнения Лапласа в главе о Ньютоне. Там эта функция является «потенциалом скорости». Если рассматривается сила ньютоновского притяжения, то яв­ляется «потенциалом тяготения». Введение потенциала в теории движения жидкостей, тяготения, электромагнетизма и во всевоз­можные другие области является одним из крупнейших шагов вперед, когда-либо сделанных в математической физике. Он позво­лил заменять дифференциальное уравнение в частных производных с двумя или тремя переменными обыкновенными дифференциаль­ными уравнениями.

Теперь, после беглого экскурса по деятельности Лапласа, возникает вопрос: в какой мере мы сейчас (то есть к концу первого курса) знакомы с его научным наследим? Оказывается, что затронуто оно в очень незначительной степени.

Так, в физике мы встречали оператор Лапласа – лапласиан. Это дифференциальный оператор в , определяемый формулой (где - координаты в ).