Рассмотрим задачу решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода

(2;1,1)

на множестве М1 монотонно убывающих (возрастающих) и равномерно ограниченных функций |z(s)|<=B. Она корректна по Тихонову, так как множество M1 — компакт в пространстве L2.

Действительно, возьмем любую последовательность E= {z1(s), z2(s), zn(s), .} из M1. Согласно теореме Хелли о выборе существуют подпоследовательность

E1 = {Zn1 (s), Zn2 (s), ., Znk (s), .},

последовательности Е и функция z*(s) из множества M1, z*(s) ÎL2, такие, что

всюду, кроме, может быть, счетного множества точек разрыва функции z*(s). Из поточечной сходимости под­последовательности Е1 к функции z*(s) всюду, кроме, может быть, счетного множества точек, следует, как известно, сходимость подпоследовательности E1 к функ­ции z*(s) по метрике L2.

Таким образом, в качестве приближенного решения на множестве М1 уравнения (2; 1,1) с приближенно извест­ной правой частью u1 Î АМ1 можно брать точное решение этого уравнения с правой частью u=u1 . Эта послед­няя задача эквивалентна задаче нахожде­ния на множестве M1 функции, минимизирующей функ­ционал

N[z,u1]=|| A1z – u1 ||2L2 .

Пусть rU(uT, u1)<= d. Тогда, очевидно, в качестве при­ближенного решения уравнения (2; 1,1) можно брать функцию zd, для которой

|| A1zd – u1 ||2L2<= d2 . (2;1,2)

Если заменить интегральный оператор A1z интеграль­ной суммой на фиксированной сетке с n узлами и обозна­чить значения искомой функции в узловых точках через zi , то задача построения приближенного решения уравне­ния (2; 1,1) сведется к задаче нахождения конечномер­ного вектора, минимизирующего функционал N[z,и1] и удовлетворяющего неравенству (2; 1,2).

В ряде других случаев компактные классы коррект­ности можно указать эффективно, что дает возможность строить устойчивые приближенные решения.

2.1.4. В силу погрешности исходных данных элемент и может не принадлежать множеству AM. В этих условиях уравнение (2; 0,1) не имеет решения (классического) и возникает вопрос: что надо понимать под приближенным решением уравнения (2; 0,1)?

В этом случае вводится понятие квазирешения и метод подбора при условии компактности множества М позво­ляет найти приближение к квазирешению. В следующем параграфе вопрос о квазирешении рассматривается под­робнее.

2.2. Квазирешения

2.2.1. Пусть оператор А в уравнении (2; 0,1) — вполне непрерывный. Построение устойчивого к малым измене­ниям правой части и приближенного решения уравнения (2; 0,1) по формуле

z=A-1u (2; 2,1)

возможно в тех случаях, как отмечалось в 2.1. , когда ре­шение ищется на компакте МÌF и правая часть уравне­ния принадлежит множеству N = AM.

Обычно не существует эффективных критериев, поз­воляющих установить принадлежность элемента и множеству N. Это приходится предполагать известным априори. В практических задачах часто вместо точного значения правой части иT нам известно ее приближенное значение u1, которое может не принадлежать множеству N=AM. В этих случаях нельзя строить приближенное решение уравнения (2; 0,1) по формуле (2; 2,1), так как сим­вол А-1u может не иметь смысла.

2.2.2. Стремление устранить затруднения, связанные с от­сутствием решения уравнения (2; 0,1) при неточной правой части, привело В. К. Иванова к понятию квазирешения уравнения (2; 0,1) — обобщению понятия решения этого уравнения.

Элемент z1ÎМ, минимизирующий при данном и функ­ционал rU(Az1,и) на множестве М, называется квазиреше­нием уравнения (2; 0,1) на М,

Если М — компакт, то квазирешение, очевидно, существу­ет для любого иÎU и если, кроме того, иÎAM, то ква­зирешение z1 совпадает с обычным (точным) решением уравнения (2; 0,1). Квазирешение может быть и не одно. В этом случае под квазирешенпем будем разуметь любой элемент из множества квазирешений D.

Можно указать достаточные условия, при которых квазирешение единственно и непрерывно зависит от пра­вой части и.

Напомним определение. Пусть элемент у и множество Q принадлежат пространству U. Элемент q множества Q называется проекцией элемента у на множество Q, q=Ру, если выполняется равенство

Теорема 1. Если уравнение Аz=u может иметь на компакте М не более одного решения и проекция каждого элемента uÎU на множество N = AM единственна, то квазирешение уравнения (2; 0,1) единственно и непре­рывно зависит от правой части u.

Доказательство. Пусть z1 — квазирешение и и1=Аz1. Очевидно, и1 есть проекция элемента u на множе­ство N = AM. По условию теоремы она определяется од­нозначно. Отсюда, в силу взаимной однозначности ото­бражения множества М на множество N, следует един­ственность квазирешения z1.

Очевидно, что z1 = А-1u=А-1Ри. Согласно лемме о непрерывности обратного отображения компакта (см. предыдущий параграф) оператор А-1 непрерывен на N. Оператор проектирования Р непрерывен на U. Поэтому А-1P — непрерывный на U оператор и, следовательно, квазирешение z1 непрерывно зависит от правой части и.

Таким образом, при переходе к квазирешению восста­навливаются все условия корректности, т. е. задача на­хождения квазирешения уравнения (2; 0,1) на компакте М является корректно поставленной.

Если условие единственности решения уравнения (2; 0,1) не выполнено, то квазирешения образуют некото­рое множество D элементов компакта М. В этом случае без упомянутых в теореме 1 ограничений на множество N имеет место непрерывная зависимость множества квази­решений D от и в смысле непрерывности многозначных отображений. Для случая, когда уравнение (2; 0,1) линейно, легко получить более общие результаты, содержащиеся в сле­дующей теореме .

Теорема 2. Пусть уравнение (2; 0,1) линейно, одно­родное уравнение Az=0 имеет только нулевое решение, множество М выпукло, а всякая сфера в пространстве U строго выпукла. Тогда квазирешение уравнения (2; 0,1) на компакте М единственно и непрерывно зависит от пра­вой части и.

Доказательство. Пусть z1 — квазирешение и u1=Az1. Так как множество М выпукло, то в силу линей­ности оператора А множество N=AM также выпукло. Очевидно, что и1 есть проекция элемента и на множество N. В силу того, что сфера в пространстве U по условию теоремы строго выпукла, проекция и определяется одно­значно. Далее доказательство завершается, как в тео­реме 1.

2.2.3. Пусть F и U — гильбертовы пространства, МÎSR — шар (|| z ||<=R ) в пространстве F и А — вполне непре­рывный линейный оператор.

В этом случае квазирешение уравнения (2; 0,1) мож­но представить в виде ряда по собственным элементам (функциям, векторам) jn оператора А*А, где А* — опе­ратор, сопряженный оператору А.