Числовой параметр d характеризует погрешность пра­вой части уравнения (3;0,1). Поэтому представляется естественным определить zd с помощью оператора, зави­сящего от параметра, значения которого надо брать согла­сованными с погрешностью d исходных данных ud . Эта согласованность должна быть такой, чтобы при dà0, т. е. при приближении (в метрике пространства U) правой части ud уравнения (3; 0,1) к точному значению uT, при­ближенное решение zd стремилось бы (в метрике прост­ранства F) к искомому точному решению zt уравнения AzT =uT.

Пусть элементы zT Î F и uT Î U связаны соотношением AzT = uT.

Определение 1. Оператор R(и, d), действующий из пространства U в пространство F, называется регуля-ризирующим для уравнения Az = и (относительно эле­мента uT), если он обладает свойствами:

1) существует такое число d1 > 0, что оператор R(u, d) определен для всякого d, 0<=d<=d1, и любого udÎU такого, что

rU(ud,uT)<= d;

2) для всякого e > 0 существует d0=d0(e, ud)<=d1 такое, что из неравенства

rU(ud,uT)<= d<= d0;

следует неравенство

rF(zd,zT)<= e,

где

zd=R(ud,d).

Здесь не предполагается, вообще говоря, однозначность оператора R(u,d). Через zd обозначается произвольный элемент из множества {R(ud,d)} значений оператора R(ud,d).

3.1.2. В ряде случаев целесообразнее пользоваться другим определением регуляризирующего оператора (P.O.).

Определение 2. Оператор R(u, a), зависящий от параметра a и действующий из U в F, называется регуляризирующим для уравнения Az=и (относительно эле­мента uT), если он обладает свойствами:

1) существуют такие числа d1>0, a1>0, что опера­тор R(u, a ) определен для всякого a, принадлежащего промежутку (0, a1), и любого uÎU, для которого

rU(u,uT)<=d1;

2) существует такой функционал a=a(u, d), опреде­ленный на множестве Ud1º{u; r(u,uT)<= d1} эле­ментов иÎU, что для любого e > 0 найдется число d(e)<=d1 такое, что если u1ÎU и rU(u1,uT)<= d<= d(e), то

rF(za,zT)<= e , где

za=R(u1, a(u1,d)).

В этом определении не предполагается однозначность оператора R(u1, a(u1,d)). Следует отметить, что при a= d получаем определение 1 .

3.1.3. Если rU(ud,uT)<= d, то известно, что в качест­ве приближенного решения уравнения (3; 0,1) с прибли­женно известной правой частью ud можно брать элемент za=R(d, a), полученный с помощью регуляризирующе­го оператора R(u, a ), где a=a(ud)=a1(d) согласовано с погрешностью исходных данных ud. Это решение назы­вается регуляризованным решением уравнения (3; 0,1). Числовой параметр a называется параметром регуляриза­ции. Очевидно, что всякий регуляризирующий оператор вместе с выбором параметра регуляризации a, согласо­ванного с погрешностью исходных данных ud , a=a(ud), определяет устойчивый к малым изменениям правой час­ти и метод построения приближенных решений уравнения (3;0,1). Если известно, что rU(ud,uT)<= d, то согласно определению регуляризирующего оператора можно так выбрать значение параметра регуляризации a=a(ud) ,

что при dà0 регуляризованное решение R(ud,a(ud)) стремится (в метрике F) к искомому точному ре­шению zT, т. е. rF(zT,za(ud)). Это и оправдывает пред­ложение брать в качестве приближенного решения урав­нения (3; 0,1) регуляризованное решение.

Таким образом, задача нахождения приближенного решения уравнения (3; 0,1), устойчивого к малым изме­нениям правой части, сводится:

а) к нахождению регуляризирующих операторов;

б) к определению параметра регуляризации a по до­полнительной информации о задаче, например, по величи­не погрешности, с которой задается правая часть ud.

Описанный метод построения приближенных решений называется методом регуляризации.

3.2. О решении вырожденных и плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений

3.2.1. Известно, с какими трудностями связано решение так называемых плохо обусловленных систем линей­ных алгебраических уравнений: малым изменениям пра­вых частей таких систем могут отвечать большие (выхо­дящие за допустимые пределы) изменения решения.

Рассмотрим систему уравнений

Аz=u, (3; 2,1)

где А — матрица с элементами aij, А ={aij}, z — иско­мый вектор с координатами zj , z={zj}, и — известный вектор с координатами иi ,u= {ui}, i, j =1, 2, ., п. Система (3; 2,1) называется вырожденной, если опреде­литель системы равен нулю, detA = 0. В этом случае матрица А имеет равные нулю собственные значения. У плохо обусловленных систем такого вида матрица А имеет близкие к нулю собственные значения.

Если вычисления производятся с конечной точностью, то в ряде случаев не представляется возможным уста­новить, является ли заданная система уравнений вырож­денной или плохо обусловленной. Таким образом, плохо обусловленные и вырожденные системы могут быть не­различимыми в рамках заданной точности. Очевидно, такая ситуация имеет место в случаях, когда матрица А имеет достаточно близкие к нулю собственные значения.

В практических задачах часто правая часть и и эле­менты матрицы А, т. е. коэффициенты системы (3; 2,1), известны приближенно. В этих случаях вместо системы (3;2,1) мы имеем дело с некоторой другой системой Az=и такой, что ||A-A||<=h, ||u-u||<= d, где смысл норм обычно определяется характером задачи. Имея

вместо матрицы А матрицу A, мы тем более не можем высказать определенного суждения о вырожденности или невырожденности системы (3; 2,1).

В этих случаях о точной системе Аz=u, решение которой надо определить, нам известно лишь то, что для матрицы А и правой части и выполняются неравенства

||A-A||<=h, ||u-u||<= d. Но систем с такими исходными данными (А, и) бесконечно много, и в рамках извест­ного нам уровня погрешности они неразличимы. Поскольку вместо точной системы (3; 2,1) мы имеем приближенную систему Аz= и, то речь может идти лишь о нахождении приближенного решения. Но приближенная система Аz=и может быть неразрешимой. Возникает вопрос:

что надо понимать под приближенным решением систе­мы (3; 2,1) в описанной ситуации?

Среди «возможных точных систем» могут быть и вы­рожденные. Если они разрешимы, то имеют бесконечно много решений. О приближенном нахождении какого из них должна идти речь?

Таким образом, в большом числе случаев мы должны рассматривать целый класс неразличимых между собой (в рамках заданного уровня погрешности) систем урав­нений, среди которых могут быть и вырожденные, и неразрешимые. Методы построения приближенных реше­ний систем этого класса должны быть одними и теми же, общими. Эти решения должны быть устойчивыми к малым изменениям исходных данных (3; 2,1).

В основе построения таких методов лежит идея «от­бора». Отбор можно осуществлять с помощью специальных, заранее задаваемых функционалов W[ z ] , входящих в постановку задачи.

Неотрицательный функционал W[ z ] , определенный на всюду плотном в F подмножестве F1 множества F, называется стабилизирующим функционалом, если: