где a>0 – числовой параметр. Решение уравнения

za=(A+aE)-1u , (2; 4,2)

при соответствующем выборе параметра a, принимается за приближенное решение уравнения (2; 0,1). Здесь Е — единичный оператор.

Замечание. Для оценки уклонения rF(zT,zd) приближенного решения от точного можно использовать мо­дуль непрерывности w обратного оператора на N.

Пусть u1, u2 Î N и rU(u1,u2)<= d. Тогда

w(d,N)= sup rF(A-1u1,A-1u2).

u1,u2 ÎN

Очевидно, что если rU(uT,ud)<= d и zd=A-1ud , то

rF(zT,zd)<=w(d,N).

Вернемся к уравнению (2; 4,1). Если || Az ||<=d и w(d,DR) = sup || z ||, то легко

DR

получить оценку уклонения za от zT. Очевидно, что

|| za - zT ||<=||za1 - zT|| + ||za - za1||, (2;4,3)

где

za1=(A + aE)-1uT.

Следовательно,

||za - zT||<=w(d,DR) + d/a. (2;4,4)

Если известен модуль непрерывности w(d,DR) или его мажоранта, то из (2; 4,4) можно найти значение пара­метра w как функцию d, при котором правая часть в не­равенстве (2; 4,4) будет минимальной.

2. 5. Метод квазиобращения

2.5.1. Известно, что задача Коши для уравнения тепло­проводности с обратным течением времени является не­устойчивой к малым изменениям начальных значений. Неустойчивость сохраняется и в случаях, когда решение подчиняется некоторым дополнительным граничным усло­виям. Для устойчивого решения таких задач разработан метод квазиобращения . Мы изложим существо его для простейшего уравнения теплопроводности, не вда­ваясь в вопросы обоснования. Подробное изложение в применении к более широкому классу задач содержится в .

2.5.2. Рассмотрим прямую задачу. Пусть D — конечная область n-мерного евклидова пространства Rn точек x = (x1, x2, ., xn), ограниченная кусочно-гладкой по­верхностью S, a t — время. Пусть, далее, j(x) — заданная непрерывная в D функция. Прямая задача состоит в на­хождении решения u=u(x,t) уравнения

(2;5,1)

в области G º {x Î D, t > 0}, удовлетворяющего гранич­ным условиям

u(х, t) =0 при xÎS (2; 5,2)

и начальным условиям

u(x, 0)= j(x). (2; 5,3)

Здесь

Известно, что решение такой задачи существует. Каждой функции j(x)ÎC отвечает решение задачи (2; 5,1)— (2; 5,3). Будем обозначать его через u(х, t; j).

Обратная задача состоит в нахождении функции j(х) по известной функции u(х,t; j). В реальных задачах функция u(x,t;j) обычно получается в результате изме­рений и, следовательно, известна приближенно. Будем по­лагать, что uÎL2. Такая функция может и не соответст­вовать никакой «начальной» функции j(х). Таким обра­зом, может не существовать в классе функций С решения обратной задачи. Поэтому будем рассматривать задачу нахождения некоторого обобщенного решения обратной задачи.

Пусть заданы число T > 0 и функция y(x), опреде­ленная в областиD, y(x) ÎL2. На функциях j(х) класса С определен функционал

Обобщенным решением обратной задачи будем называть функцию j(х)., на которой достигается

f0=inf f(j)

jÎC

Замечание. «Естественный» подход к решению этой задачи — выбрать функцию j(х).так, чтобы f(j)=0 .

Для этого достаточно найти решение прямой задачи

u(x, t) = 0 для х Î S, 0 < t < T;

u(x,T) = y(x)

и положить j (x) = u(x,0). Но такая задача при задан­ной функции y(x) из L2, вообще говоря, неразрешима и, кроме того, неустойчива к малым изменениям функ­ции y(x).

На некотором классе обобщенных функций j (x) f0=0 . Поэтому рассматривается задача на­хождения приближенного значения f0 с заданным уровнем погрешности.

Для заданного числа e > 0 найти функцию je(x), на которой f (je)<=e.

Эта задача и решается методом квазиобращения.

Идея метода квазиобращения состоит в том, что вмес­то оператора теплопроводности находится «близ­кий» ему оператор Вa , для которого задача с обращением отсчета времени

Baua = 0, x ÎD, t < Т, a > 0;

ua (x,T)= y(x);

ua (x,t) = 0 для xÎ S, t< Т

устойчива. Решив эту задачу, полагают j (x)=ua(x,0). Обычно в качестве оператора Вa берут оператор и решают прямую задачу

xÎ D, t<T, a>0;

ua (x,T)= y(x);

ua (x,t) = 0 для xÎ S, 0< t<= Т

Dua=0 для xÎ S, 0< t<= Т.

Затем полагают

j (x)=ua(x,0).

Следует отметить, что uaне сходится в обычном смыс­ле при a à0.

3.МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ

В главе предыдущем разделе рассмотрены случаи, когда класс возможных решений уравнения (2; 0,1) является компактом. Однако для ряда прикладных задач характерна ситуация, когда этот класс F не является компактом, и, кроме того, изме­нения правой части уравнения

Аz= u, (3; 0,1)

связанные с ее приближенным характером, могут выво­дить за пределы множества AF — образа множества F при отображении его с помощью оператора А. Такие задачи называются существенно некорректными. Был разработан новый подход к решению некорректно поставленных задач, позволяющий строить приближенные решения уравнения (3; 0,1), устойчивые к малым изме­нениям исходных данных, для существенно некорректных задач. В основе этого подхода лежит фундаментальное понятие регуляризирующего оператора (P.O.) . Для упрощения изложения в настоящей главе мы будем полагать, что в уравнении (3; 0,1) приближенной может быть лишь пра­вая часть и, а оператор А известен точно.

3.1. Понятие регуляризирующего оператора

3.1.1. Пусть оператор А в уравнении (3; 0,1) таков, что обратный ему оператор

A-1 не является непрерывным на множестве AF и множество возможных решений F не является компактом.

Пусть zT есть решение уравнения Az =uT, т. е. AzT=uT. Часто вместо uT мы имеем некоторый элемент ud и известное число d > 0 такие, что rU(ud,uT)<= d, т. е. вместо точных исходных данных (uT,А) мы имеем при­ближенные исходные данные (ud, А) и оценку их погрешности d. Задача состоит в том, чтобы по известным исход­ным данным (ud, A, d) найти приближение zd к элементу zt, обладающее свойством устойчивости к малым измене­ниям ud. Очевидно, что в качестве приближенного реше­ния zd уравнения (3; 0,1) нельзя брать точное решение этого уравнения с приближенной правой частью и= ud, т. е. элемент zT, определяемый по формуле

zd=A-1 ud

так как оно существует не для всякого элемента u ÎU и не обладает свойством устойчивости к малым изменениям правой части и.