СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение

2. Теоретическая часть

3. Задание на выполнение лабораторной работы

4. Результаты измерений, обработка результатов

5. Выводы

6. Использованная литература

---- ВВЕДЕНИЕ ----

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Среди всевозможных совершающихся вокруг нас механических движений часто встречаются повторяющиеся движения. Любое равномерное вращение является повторяющимся движением: при каждом обороте всякая точка равномерно вращающегося тела проходит те же положения, что и при предыдущем обороте, причём в такой же последовательности и с теми же скоростями. Если мы посмотрим, как раскачиваются от ветра ветви и стволы деревьев, как качается на волнах корабль, как ходит маятник часов, как движутся взад и вперёд поршни и шатуны паровой машины или дизеля; если мы будем наблюдать чередование морских приливов и отливов, размахивание руками при ходьбе и беге, биения сердца или пульса, то во всех этих движениях мы заметим одну и ту же черту – многократное повторение одного и того же цикла движений.

В действительности не всегда и не при всяких условиях повторение совершенно одинаково. В одних случаях каждый новый цикл очень точно повторяет предыдущий (качания маятника, движения частей машины, работающей с постоянной скоростью), в других случаях различия между следующими друг за другом циклами может быть заметным (приливы и отливы, качания ветвей, движения частей машины при её пуске или остановке). Отклонения от совершенно точного повторения очень часто настолько малы, что ими можно пренебречь и считать движение повторяющимся вполне точно, т. е. считать его периодическим.

Периодическим называется повторяющееся движение, у которого каждый цикл в точности воспроизводит любой другой цикл.

Продолжительность одного цикла называется периодом.

Период равномерного вращения равен продолжительности оборота.

В природе, и особенно в технике, чрезвычайно большую роль играют тела и устройства, которые сами по себе способны совершать периодические движения.

«Сами по себе» - это значит: не будучи принуждаемы к этому действием периодических внешних сил. Такие колебания называют поэтому свободными колебаниями в отличие от вынужденных.

Если, например, толкнуть дверь и предоставить самой себе, то движение не будет повторяющимся. Иное дело, если толкнуть или отклонить от вертикали висящий на верёвке груз. Он начнёт качаться, т. е. будет совершать периодическое движение. Это и будут свободные колебания. Подобно этому будет периодически колебаться вода в стакане, груз, подвешенный на пружине, вагон или экипаж на своих рессорах, качели, зажатая одним концом металлическая пластинка, натянутая струна и т. д.

Все такие тела или совокупность тел, которые сами по себе могут совершать периодические движения, или колебания, называются колебательными системами. Такими системами являются большинство источников звука, а воздух, в свою очередь, представляет собой колебательную систему.

Кроме механических колебательных систем существуют электромагнитные колебательные системы, в которых могут совершаться электрические колебания, составляющие основу всей радиотехники. Наконец, имеется очень много смешанных – электромеханических - колебательных систем, используемых в технике.

Одна из простейших механических колебательных систем – это маятник.

Маятником называется всякое тело, подвешенное так, что его центр тяжести находится ниже точки подвеса.

- II -

---- ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ----

У всякой системы, способной совершать свободные колебания, имеется устойчивое положение равновесия. У маятника – это то положение, при котором центр тяжести находится на вертикали под точкой подвеса. Наибольшее отклонение от положения равновесия называется амплитудой колебаний.

Физический маятник – твёрдое тело, имеющее возможность колебаться вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс под действием силы тяжести. Точка пересечения горизонтальной оси А с вертикальной плоскостью, проходящей через центр масс маятника, называется точкой подвеса маятника (рис. 1). Положение тела в каждый момент времени можно характеризовать углом отклонения его из положения равновесия φ. Угол φ играет роль обобщённой координаты q. Кинетическая энергия качающегося физического маятника определяется выражением:

Екин=½Iφ2,

где I – момент инерции маятника относительно оси А.

Потенциальная энергия равна:

Епот = mgh,

где h – высота поднятия центра масс С над его самым нижним положением.

Обозначим а расстояние между центром масс С и точкой подвеса А. Тогда

Епот=mga/2·φ2.

Таким образом, для малых колебаний потенциальная и кинетическая энергии приводятся к виду:

d2α/dt2+mgd/I·α=0,

где угол α удовлетворяет дифференциальному уравнению гармонических колебаний.

Таким образом, в отсутствие трения малые колебания физического маятника являются гармоническими

α=α0sin(ωt+φ0),

где α0 – амплитуда колебаний угла α, а

ω=(mgd/I)½ и T=2π(I/mgd)½ - циклическая частота и период малых колебаний физического маятника.

Если период колебаний не зависит от амплитуды, то такие колебания называются изохронными. Малые колебания физического маятника изохронны. Колебания приближённо изохронны, когда угловая амплитуда колебаний не превышает нескольких градусов. При бόльших амплитудах изохронность нарушается. На свойстве изохронности колебаний маятника основано его примение в часах.

Частным случаем физического маятника является математический маятник, вся масса которого практически сосредоточена в одной точке – в центре масс маятника С. Примером математического маятника может служить шарик, подвешенный на длинной нити. В случае математического маятника:

a=l, I=mt2,

где l – длина маятника и формула получает вид:

T=2π(l/g)½.

Из этого можно сделать вывод, что физический маятник колеблется также, как математический с длиной

l=I/mα, (1)