поскольку для неферромагнетиков магнитная проницаемость незначительно отличается от единицы , то для сравнительно широкого класса сред можно считать , тогда:

.

( разделим числитель и знаменатель на , и учтя , что )

применив закон преломления , получим (6):

из второго уравнения системы (5) получаем для :

(поскольку полагаем ,) , тогда:

(7)

проверим теперь выполнение еще двух условий на границе раздела ,которые мы не учли - и . Второе равенство выполняется заведомо , поскольку , проверим первое равенство :

из рисунка видно , что , а подставим значения , и ( из 2) , сократив сразу на , и учитывая (4) :

(выражая через второе уравнение системы (5) )

Таким образом действительно получено точное решение уравнений (2) , удовлетворяющее всем начальным условия. Итак , имеем следующие формулы Френеля для случая s-волны для отражения и преломления (из (6) и (7) ):

и

Случай ТЕ -волны ( s - волны)

рис.3

Из рисунка видно , что

Условия (3) для и :

подставляя значения и из (2) получим :

как и в случае ТМ-волны предполагаем равенство аргументов косинусов и совершенно аналогично получаем в этом случае закон отражения и преломления света , сокращая на и с учетом (4) получим систему :

(8)

умножим первое уравнение на а второе на и вычтем из первого второе :

поскольку мы полагаем (см. выше) то

(9)

из второго уравнения системы (8) получаем:

(10)

проверим теперь неучтенные условия на границе раздела : и .

Второе условие выполняется , поскольку , проверим выполнение равенства : из рисунка видно , что , а подставим значения , и ( из 2) , сократив сразу на , и учитывая (4) получим :

подставляем из второго уравнения системы (8) :

таким образом мы действительно нашли точное решение уравнений (2) , удовлетворяющее всем начальным условиям . В случае p-волны имеем следующие формулы Френеля для отражения и преломления (из (9) и (10))

и

Анализ формул Френеля

Исследуем отношения энергий (точнее плотности потока энергий ) падающей и отраженной ТМ и ТЕ волн и падающей и прошедшей волн в зависимости от угла падения . Для этого рассмотрим отношение нормальной составляющей вектора Пойтинга падающей и отраженной ( и в случае ТМ и ТЕ волн соответственно) и падающей и прошедшей (

и ) волн. Тогда с из полученных формул Френеля для отражения и преломления , с учетом (2) будем иметь:

А. Отражение