Проделав те же выкладки, что и при нахождении частного решения y1, получим

(7)

Сложив (6) и (7) для y1 и y2, найдем математическое описание вынужденного движения:

При гармоническом воздействии в устойчивых системах после окончания переходного процесса, выходная величина также изменяется по гармоническому закону, но с другими амплитудой и фазой. При этом отношение амплитуд выходной и входной величин равно модулю, а сдвиг фазы – аргументу частотной передаточной функции. И, следовательно, амплитудная частотная характеристика показывает изменение отношения амплитуд, а фазовая частотная характеристика- сдвиг фазы выходной величины относительно входной в зависимости от частоты входного гармонического воздействия.

Из приведённой физической интерпретации частотных характеристик ясно, как строить их экспериментальным путём.

Для экспериментального построения частотных характеристик имеется специальная аппаратура, в состав которой входят генератор гармонических колебаний с регулируемой частотой и устройства для измерения амплитуды и фазы колебаний.

Частотные характеристики используются для описания как устойчивых, так и неустойчивых систем. Но в последнем случае они не имеют такого ясного физического смысла.

Функцию W( jw) можно представить в виде

где

Если то

На комплексной плоскости (рис.1) частотная передаточная функция W(jw) определяет вектор , длина которого равна А(w), а аргумент (угол, образованный этим вектором с действительной положительной полуосью) - Q(w). Кривую, которую описывает конец этого вектора при изменении частоты от 0 до ¥ (иногда от -¥ до ¥), называют амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФХ).

Частотную передаточную функцию будем называть также амплитудно-фазовой частотной функцией. Её действительную часть U(w)= ReW(jw) и мнимую часть V(w)=JmW(jw) будем называть соответственно ВЕЩЕСТВЕННОЙ и МНИМОЙ ЧАСТОТНОЙ ФУНКЦИЕЙ. График вещественной частотной функции (кривая зависимости U=U(w) называют ВЕЩЕСТВЕННОЙ ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ, а график мнимой частотной функции – МНИМОЙ ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ.

Модуль А(w)=½W(jw)½ называют амплитудной частотной функцией, а её график – амплитудной частотной характеристикой.

Аргумент Q(w)=argW(jw) называют фазовой частотной функцией, её график – фазовой частотной характеристикой.

Рис. 1.

Кроме перечисленных частотных характеристик используют ещё логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) – логарифмические амплитудные частотные характеристики (ЛАЧХ) и логарифмические фазовые частотные характеристики (ЛФЧХ). Назовём функцию

L (w)= 20 lg A(w)= 20 lg½W( jw)½

- логарифмической амплитудной частотной функцией. График зависимости логарифмической амплитудной частотной функции L(w) от логарифма частоты lg(w) называют логарифмической амплитудной частотной характеристикой ЛАЧХ.

При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе: на отметке, соответствующей значению lg(w), пишут само значение w, а не значение lgw,а по оси ординат – L(w).

ЛФЧХ называют график зависимости фазовой частотной функции Q(w) от логарифма частоты lgw. При его построении по оси абсцисс, как и при построении ЛАЧХ, на отметке, соответствующей значению lgw, пишут значение w.

Единицей измерения L(w) является децибел, а единицей логарифма частоты в ЛЧХ – декада. Декадой называют интервал, на котором частота изменяется в 10 раз. Ось ординат при построении ЛЧХ проводят через произвольную точку оси абсцисс, а не через точку w=0. Частоте w=0 соответствует бесконечно удалённая точка: lgw®-¥ при w®0.

В инженерных расчётах используются, как правило, ЛЧХ.

Белл-логарифмическая единица десятикратного увеличения мощности. Так как А(w)- отношение напряжений, токов, перемещений, то увеличение этого отношения в 10 раз будет соответствовать увеличению отношения мощностей в 100 раз, что соответствует 2 Белам или 20 дБ.

Типовые динамические звенья САУ

I. Статические (позиционные) звенья:

1. Безынерционное звено.

2. Звено апериодическое I порядка.

3. Звено апериодическое I I порядка.

4. Колебательное звено.

II. Интегрирующие звенья:

1. Идеальное интегрирующее звено.

2. Реальное интегрирующее звено.

III. Дифференцирующие звенья:

1. Идеальное дифференцирующее звено.

2. Реальное дифференцирующее звено.

3. Форсирующее звено.

IV. Трансцендентные звенья.

1. Звено запаздывания (чистого запаздывания, транспортного запаздывания).

V. Неустойчивые звенья.

1. Консервативное звено.

2. Звено неустойчивое апериодическое I порядка.

I. Статические (позиционные) звенья.

1. Безынерционное звено.

1.1.Уравнение связи выход-вход y = ku.

1.2.Переходная функция h(t)=k×1(t)

1.3.Передаточная функция W(p)=k.

1.4.Амплитудно-фазовая характеристика

1.5.Логарифмические частотные характеристики

Пример. Усилитель постоянного тока с отрицательной обратной связью (инерционностью усилителя пренебречь).

Апериодическое (инерционное) звено I порядка.

2.1. Дифференциальное уравнение

2.2. Переходная функция

2.3. Передаточная функция

2.4. Амплитудно-фазовая частотная функция (частотная передаточная функция)

2.5. Логарифмические частотные характеристики

.