Задания из трёхтомника Е. И. Игнатьева использовал и А. В. Сатаров в четырёх брошюрах, вышедших под общим названием «Живая арифметика в часы досуга: Пособие семье и школе для развития смекалки в детях». В «Книге второй» автор поместил три задачи с одинаковыми цифрами: «14. Напишите 2 тремя пятёрками.

15. Напишите 5 тремя пятёрками;

16. Как изобразить 31 пятью тройками?»

А в «Книге третьей» А. В.Сатаров привёл ещё одно задание:

«Напишите число 100 четырьмя одинаковыми цифрами».

При этом, как А. В. Сатаров, так и Н. Н. Аменицкий с И. П. Сахаровым

в ответах использовали только действия сложения, вычитания, умножения и

деления.

1.2.3 Из истории головоломок с неповторяющимисяцифрами

Задачи с неповторяющимися цифрами встречаем в замечательном отечественном трёхтомнике Е. И. Игнатьева «В царстве смекалки, или Арифметика для всех: Опыт математической хрестоматии: Книга для семьи и школы». В «Книге 1» приведена:

«Задача 32-я: Написать число 100 посредством девяти различных значащих цифр».

56 + 8 + 4 + 3 = 71+29=100».

Здесь Е. И. Игнатьев разъясняет: «Как видим, в предпоследнем решении допущен некоторый «фокус». Сначала из шести разных цифр составлено три числа, дающих в сумме 98 - число, опять-таки составленное из двух новых цифр, и к нему прибавляется число, изображённое недостающей цифрой 2. В сумме получается требуемое число 100. Подобно же составлено и последнее решение».

Интересно, что почти такую же задачу приводит И. Я. Герд в «Сборнике игр и полезных занятий для детей всех возрастов с предисловием для родителей и воспитателей», раздел «Задачи»:

«17. Составьте из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 такие числа, чтобы через сложение получить ровно 100».

При этом в ответе приводится только одно решение, немного отличающееся от указанных Е. И. Игнатьевым:

15 + 36 + 47-98 + 2=100.

Нетрудно найти и другие решения с «фокусом» помимо тех, которые присутствуют в пособиях Е. И. Игнатьева и И.Я. Герда:

73 + 10 + 6 + 5 + 4 = 98 + 2= 100;

70 + 16 + 3 + 4 + 5 = 98 + 2= 100;

53 + 8 + 4 + 6 = 71+29=100;

45 + 37+ 16 = 98 + 2= 100;

58 + 3 + 4 + 6 = 71+ 29=100;

47 + 36+15=98 + 2= 100 и т. п.

Еще раньше головоломку о числе 100 привёл классик занимательной математики американец С. Лойд, в его книге «Математическая мозаика».

Как видно, ответы на заинтересовавшие головоломки из книг Е. И. Игнатьева и С. Лойда либо очень сложны, либо не вполне корректны.

Целям книги И.Г. Сухина «Занимательные материалы» больше соответствует задание, которое привёл А. В. Сатаров в четырёхтомнике «Живая арифметика в часы досуга: Пособие семье и школе для развития смекалки в детях». В «Книге второй» он опубликовал следующую задачу: «11. Составьте из первых семи цифр: 1,2, 3,4,5,6,7 такие четыре числа, чтобы при сложении их получить ровно 100; при этом брать какую-либо цифру два или три раза нельзя. Ответ: Числа, удовлетворяющие условиям задачи, таковы: 2, 15, 36, 47. Действительно: 2 + 15 + 36 + 47 = 100. Возможны и другие решения, например: 2+ 17 + 35 + 46=100». В данной задаче очень много решений. Вот ещё некоторые из них:

5 + 12 + 37 + 46; 6+ 15 + 32 + 47; 7+ 16 + 35+42.

Очевидно, что иные решения легко получить перестановкой цифр в слагаемых (т. е. вместо 35 + 42 можно написать 32 + 45 и т. д.).

1.2.4 Из истории задач о переливании жидкостей

Практически ни один классический сборник, связанный с играми и развлечениями, не обходится без раздела «Дележи», причём заметное место в нём занимают задачи о переливании жидкостей из сосуда в сосуд.

К сожалению, большинство подобных старинных головоломок сложны, и поэтому не подходят для начальной школы. Как это ни удивительно, но в отечественных учебных пособиях сравнительно простых заданий данного класса практически нет. А ведь не подлежит сомнению, что они помогут детям в занимательной форме быстрее освоить действия сложения, вычитания и попрактиковаться в комбинаторике.

Лишь одну доступную детям младшего школьного возраста задачу находим в пособии для учителей М. Б. Балка «Организация и содержание внеклассных занятий по математике»:

«Имея 2 бидона на 4 и 5л, можно ли налить из водопроводного крана в ведро 3 л. воды? (Ёмкость ведра не меньше 3 л.) Ответ: можно».

Быстрейшим путём задача решается так: Заполняется водой четырёхлитровый бидон, затем вода переливается в пятилитровый, снова вода доверху наливается в меньшую ёмкость, и из меньшей 1 л отливается в большую. В результате в четырёхлитровом бидоне будет 3 литра воды.

Ещё две «водяные» головоломки приводятся в разделе «Задачи-смекалки» пособия для учителей 1-11 классов А. А. Свечникова и П. И. Сорокина «Числа, фигуры, задачи во внеклассной работе»:

«111. Как набрать из водопровода 6л воды, пользуясь двухлитровой банкой и чайником, в который входит 5л?

Решение: Напиваем в банку 2 раза по 2 л и переливаем в чайник, затем ещё раз напиваем в банку 2 л.

136. Как имея банку вместимостью 4 л и бидон -9 л, набрать из реки точно 7 л воды?»

Оптимальное решение второй задачи в пособии не даётся. Вот оно: Два раза заполняем банку водой и переливаем по 4 л воды из банки в бидон, снова наполняем банку и добавляем 1 л из неё в бидон, после этого все 9 л воды из чайника выливаем в раковину, и в бидон переливаем оставшиеся в банке 3 л, снова заполняем четырёхлитровую банку водой из реки и получаем требуемые (суммарные)

7л = Зл + 4л.

Непросто определить, в каком старинном трактате впервые появились задачи на переливание жидкостей, которые можно использовать при изучении темы «Величины» в начальной школе. Пожалуй, самая известная из них опубликована более семи веков назад. Познакомимся с ней:

«В одном средневековом сочинении восходящим к середине 13-го столетия, предлагается такого рода задача: Господин послал своего слугу в ближайший город купить 8 мер вина. Когда слуга, выполнив поручение, собирался домой, ему повстречался другой слуга, которого господин тоже посла! за вином. «Сколько у тебя вина?» — спрашивает второй слуга. «8 мер», — отвечает тот. «Мне тоже нужно купить вина». «Ты уже ничего не получишь, так как в городе больше вина нет», — заявляет первый. Тогда второй слуга просит его поделиться с ним вином и показывает ему имеющиеся при нём два сосуда, один в 5, другой в 3 меры. Как произвести делёж: при помощи этих трёх сосудов?».

Приведём ход кратчайшего решения, включающего 7 операций переливания, обозначив «трёхмерный» сосуд, как первый, «пятимерный» назовём вторым, а «восьмимерный» — третьим.

Итак: 1. Из третьего во второй отливаем 5 мер.

2. Из второго в первый -— 3 меры.

3. Из первого в третий переливаем 3 миры.

4. Из второго в первый — 2 меры.

5. Из третьего во второй — 5 мер.

6. Из второго в первый — 1 меру.

7. Из первого в третий — 3 меры.

В результате во втором и третьем сосудах получается по 4 меры вина. Широкую известность эта задача получила после публикации двумя изданиями сочинения К. Баше «Игры и задачи, основанные на математике». На русском языке книга К.Баше была издана лишь в 19-м веке, да и то в сокращенном виде.