Решение приведенных выше дифференциально-разностных уравнений позволяет в принципе найти значения всех вероятностей рn(t), которые описывают стохастический процесс, не обязательно являющийся (в общем случае) стационарным. Заметим, что как метод получения такого решения, так и само решение выглядят весьма сложными и громоздкими.

Можно доказать, что стационарное решение существует при t®¥, когда l<m. В предложение, что условие l<m действительно выполняется, нетрудно получить уравнения для стационарного процесса; в этом случае при t®¥ необходимо иметь в виду, что р'n(t)®0, а рn(t)® рn для любого n=0, 1, 2 …. В результате будем иметь

Решение приведенной выше системы уравнений имеет следующий следующий вид:

где r=l¤m<1. В рассматриваемом случае распределение является геометрическим.

Выражение для LS получается путем элементарных преобразований:

Заметим, что сходимость årn обеспечивается за счет выполнения неравенства r<1. Используем теперь выведенные ранее формулы, получаем

Пример. Собранные сведения о режиме функционирования одного из дисплейных классов показывают, что студенты посещают этот класс в соответствии с пуассоновским распределением, а средняя интенсивность прибывающих в класс студентов равна 5 студентов в час. Продолжительность выдачи задания и размещения студента в классе, естественно, различна для каждого студента, но, как показали наблюдения, подчиняются экспоненциальному закону со средним значением, равным 10 мин на одного студента.

Для анализа процесса обслуживания студентов в дисплейном классе с указанными выше операционными характеристиками можно использовать результаты, полученные для модели типа (M/M/1):(GD/¥/¥); при этом следует считать емкость источника, генерирующего заявки на обслуживание, неограниченной, а помещение, отведенное для ожидающих обслуживания студентов, способно разместить всех прибывших в класс студентов.

В рассматриваемом случае l=5 студентов в час, а m=60/10=6 студентов в час. Поскольку r=l¤m=5/6, т.е. меньше единицы, система может функционировать в стационарном режиме. Чтобы иметь представление о том, какое количество ЭВМ необходимо организовать в дисплейном классе, требуется вычислить Lq по формуле

Однако известно, что Lq интерпретируется как математическое ожидание, так что количество ожидающих обслуживания студентов в произвольно выбранный момент времени может оказаться либо меньше, либо больше четырех. Поэтому следует подойти к решению задачи определения количества ЭВМ для обслуживания прибывших студентов с позиции "разумного" обеспечения местами для работы, например, задавшись целью обеспечить одновременно работой 80% прибывающих студентов. Это эквивалентно выполнению условия

где s- подлежащее определению количество ЭВМ.

Используя формулу для рn, можно записать

Учитывая, что

получаем rS+1£0,2. Прологарифмировав обе части данного неравенства (при r=5/6), будем иметь

Поскольку значение log(5/6) отрицательное, деление на log(5/6) правой и левой частей приведенного выше неравенства изменяет знак неравенства, т.е. s получаем

Таким образом, для одновременного размещения по крайней мере 80% студентов минимальное число ЭВМ должно быть приблизительно в два раза больше найденного выше значения Lq.

Можно получить и другую важную информацию о функционировании дисплейного класса. Нетрудно вычислить долю времени, в течение которого дисплейный класс вынуждено бездействует. Для этого достаточно определить вероятность такого события равняется р0=1-r»0,17; т.е. можно утверждать, что доля времени, в течение которого дисплейный класс будет простаивать, составляет 17%. С другой стороны, для оценки времени размещения студента в дисплейном классе необходимо знать сколько времени студент ожидает освобождение компьютера. В данном случае значение этого показателя, обозначенного через WS, равняется

Как видно, значение WS оказалось большим, так что возникает необходимость изыскать ресурсы для увеличения скорости обслуживания.

Найдем вероятность того, что пришедший студент будет вынужден ждать, пока его не обслужат. Так как вероятность того, что дисплейный класс будет пустовать равно 0,17, то необходимая вероятность равна 1-р0=0,83.

Если параметр m будет ³12 мин, то система перейдет из стационарной в неустановившуюся, так как очередь со временем будет увеличиваться. Такое же явление будет получено, если интенсивность потока будет больше 5, а скорость обслуживания останется равной 10 мин. По этому нужно стремиться к уменьшению времени обслуживания.

2.1.2 Система массового обслуживания типа (M/M/1):(GD/N/¥)

Разница между моделью типа (M/M/1):(GD/N/¥) и моделью типа (M/M/1):(GD/¥/¥) заключается только в том, что требований, допускаемых в блок ожидания обслуживающей системы, равняется N. Это означает, что при наличии в системе N требований ни одна из дополнительных заявок на обслуживание не может присоединяться к очереди в блоке ожидания. В результате эффективная частота поступлений требований lЭФФ для системы указанного типа становятся меньше частоты l, с которой заявки на обслуживание генерируются соответствующим источником.

Дифференциально-разностные уравнения как для n=0, так и 0<n<N имеют такой же вид, как в модели (M/M/1):(GD/¥/¥). Для n>N имеем pn(t)-0, а для n=N

Таким образом, уравнения для стационарного процесса в случае модели (M/M/1):(GD/N/¥) записываются следующим образом: