Эти уравнения можно привести к следующему (более удобному) виду:

Рассматривая последовательно уравнения для р1, р2, р3, … и рассуждая по обычной схеме, реализующей метод индукции, приходим к формулам:

Выражения для р0 получено из условия åрn=1.

Таким образом, если СМО относится к типу (M/M/c):(GD/¥/¥), то для оценки ее операционных характеристик мы исходим из того, что

Из выражения для рn,выведенного для модели (Mn/Mn/1):(GD/¥/¥) при n£c

В случае, когда n³с, формула принимает следующий вид:

Полагая r=l¤m, находим

где r¤с<1 (или l¤mс<1).

Теперь нетрудно показать, что

При приближенный методе нахождения р0 и Lq получаем: при r<<1 можно записать

Тогда как для значений r/с, близких к единице,

Пример. В университете имеются два корпуса. Каждый из корпусов располагает двумя библиотеками, при этом обслуживание студентов, согласно имеющимся сведеньям, распределяются между корпусами поровну. Последнее утверждение подтверждается данными о том, что в обоих корпусах студенты приходят со средней частотой 10 студентов в час. Среднее время обслуживания студента составляет 11,5 мин. Посещение студентами библиотек распределено во времени по пуассоновскому закону, а продолжительность обслуживания одного студента - по экспоненциальному закону.

Администрация университета разрешила посещение всеми студентами всех библиотек обоих корпусов. При раздельном использовании библиотек между корпусами, которыми они принадлежали, коэффициент загруженности равнялся 95,8%:действительно,

(Заметим, что в рассматриваемом случае библиотека с точки зрения ТМО является "обслуживающим прибором".) Мы видим, что коэффициент загруженности работников библиотек корпусов был большим. Возникает вопрос о целесообразности централизации управления библиотеками.

Для анализа задачи улучшения использования библиотек необходимо сравнение двух вариантов, а именно:

(а) варианта с независимыми обслуживающими системами типа (М/М/2): (GD/¥/¥) при l=10 студентов в час и m=5,217 обслуживаний студентов в час

(б) варианта с одной очередью типа (М/М/4): (GD/¥/¥) при l=2*10=20 студентов в час и m=5,217 обслуживаний студентов в час.

Заметим, что в обоих случаях m интерпретируется как среднее число обслуживания одного студента в час.

Коэффициент загруженности во втором случае будет таким же, как и в первом случае, а именно

Объединение всех четырех библиотек в рамках одной системы не приводит на первый взгляд к эффекту. Если, однако, рассмотреть другие показатели, это первое впечатление не подтвердится. Вычислим Wq (среднее время ожидания студентом обслуживания от момента прихода в библиотеку до момента выдачи книг) в первом и втором случаях. Тогда для с=2 будем иметь

Таким образом,

С другой стороны, для с=4 будем иметь l/m=20/5,217=3,83 и

Следовательно,

Приведенные выше оценки показывают, что при централизации библиотек среднее время ожидания студентом заказанной книги сократится примерно вдвое. Значит, можно сделать вывод, что создание централизованной системы библиотек дает заметный операционный эффект, если его оценить с позиции потенциальных пользователей библиотек. Заметим, что этот результат получен в случае, когда коэффициент загруженности "обслуживающих приборов" (библиотек) в СМО весьма высок.

3. Принятие решений с использованием моделей массового обслуживания

3.1 Методы разработки математических моделей в СМО

Трудности использования стандартных моделей, разработанных в ТМО, можно преодолеть одним из следующих способов. Во-первых, можно модифицировать структурно-функциональные характеристики обслуживающей системы так, чтобы чисто логическим путем достичь желательных операционных показателей этой системы и одновременно сделать рассматриваемую СМО поддающейся анализу одной из стандартных математических моделей. Во-вторых, можно признать справедливым некоторые упрощающие предположения относительно реальной обслуживающей системы и, следовательно, возможно представить ее с помощью математической модели без риска получить существенные ошибки в численных оценках операционных характеристик исследуемой системы. Второй из указанных способов представляет собой более перспективным, поскольку за счет его реализации увеличивается круг задач, решение которых может быть обеспеченно путем использования разработанных в ТМО математических моделей и методов.

3.2.Подготовка исходных данных и проверка статистических гипотез

Выбор того или иного метода для исследования функциональных характеристик обслуживающей системы независимо от того, является ли он аналитическим или же относится к категории имитационных, в каждом конкретном случае определяется законом распределения моментов поступления требований и продолжительностей обслуживания. Чтобы установить, какой характер имеют упомянутые выше распределения, необходимо осуществить наблюдения за реально функционирующей СМО и зарегистрировать ряд чисел, получаемых в ходе наблюдений. В связи с накоплением данных, характеризующих процесс массового обслуживания, как правило возникают следующие вопросы: