Решение приведенной выше системы уравнений для модели (M/M/1):(GD/N/¥) имеет вид

Следует отметить, что значение параметра r=l¤m не обязательно должно быть меньше единицы. Это легко увидеть и интуитивно, поскольку число допускаемых в обслуживающую систему требований контролируется путем введения ограничения на длину очереди, а не соотношением между интенсивностями входного и выходного потоков, т.е. отношением l¤m.

С учетом приведенной выше формулы для рn выражение для среднего числа находящихся в системе требований принимает следующий вид:

Выражения для Lq,Ws и Wq можно получить из формулы для Ls, если предварительно вывести формулу для lЭФФ. Поскольку вероятность того, что требование не имеет возможности присоединится к очереди, равняется рN, доля требований , которым разрешено войти в блок ожидания, равняется Р{n<N}=1- рN. Отсюда следует, что

Таким образом, нетрудно еще раз убедиться, что

Пример. Ситуация предыдущего примера. Пусть дисплейный класс располагает пятью ЭВМ для обслуживания студентов. Если все ЭВМ заняты, дополнительно прибывающие в класс студенты вынуждены искать другой класс.

Не исключено, что инженеров класса прежде всего интересует количество студентов, которые покидают класс из-за ограниченности мест. Практически это эквивалентно нахождению разности между l и lЭФФФ:

В рассматриваемом примере N=5+1=6, r=5/6, а

Отсюда следует, что частота возникновения ситуации, когда прибывающий в класс студент не имеет возможности присоединиться к очереди, равняется 5*0,0774=0,387 студента в час; при 8-часовом рабочем дне это эквивалентно тому, что дисплейный класс в среднем за день будет терять три студента.

Пусть требуется определить среднее время пребывания студента в дисплейном классе. Сначала вычислим LS, что позволит затем найти WS:

С учетом того, что lЭФФФ=l(1-r6)=5(1-0,0774)=4,613, получаем

Таким образом, при введение ограничения на количество мест для работы (N=6) среднее время ожидания по сравнению со случаем, когда в дисплейный класс могли попасть все нуждающиеся студенты, сократилось примерно на полчаса. Это было достигнуто за счет "потери" в среднем трех студентов в день из-за недостаточности мест для работы прибывших студентов.

Найдем вероятность того, что прибывший в дисплейный класс студент будет сразу же обеспечен свободным компьютером. Для этого необходимо найти вероятность того, что в системе не будет ни одного студента:

Найдем среднюю продолжительность ожидания пришедшего в дисплейный класс студента от момента прибытия до начала обслуживания, т.е. необходимо найти Wq:

При увеличении количества ЭВМ на одно количество студентов, которое теряет дисплейный класс, при l=5 равно l-lЭФФ=lрN=1,16 (N=6+1=7). Таким образом в течение 8-ми часового дня класс теряет только одного студента. При увеличении количества ЭВМ уже до 9 класс будет терять 0,00225 студента в час или 0,01125 студента в день (т.е. практически 0). При увеличении параметра l, для того чтобы не терять студентов необходимо прямо пропорционально увеличивать количество ЭВМ.

2.1.3 Система массового обслуживания типа (M/M/c):(GD/¥/¥)

Процесс массового обслуживания, описываемый моделью (M/M/c):(GD/¥/¥), характеризуется интенсивностью входного потока l и тем обстоятельством, что параллельно обслуживаются может не более с клиентов. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равняется 1/m. Входной и выходной потоки являются пуассоновскими. Конечная цель использования с параллельно включенных обслуживающих приборов заключается в повышении (по сравнению с одноканальной системой) скорости обслуживания требований за счет обслуживания одновременно с клиентов. Таким образом, если n=c, то интенсивность входного (выходного) потока равняетсясm. С другой стороны, если n<c, то интенсивность входного (выходного) потока равняется nm<cm (поскольку при этом занятыми обслуживанием окажутся не все обслуживающие приборы, а лишь n(<c) приборов). По существу, использование нескольких обслуживающих приборов эквивалентно использованию одного обслуживающего прибора, быстродействие которого варьируется, увеличиваясь при наличии в системе n требований ровно в n раз.

Таким образом, для анализа модели (M/M/c) требуется построить обобщенную одноканальную модель, в которой как интенсивность входного потока, так и скорость обслуживания зависели бы от n, так что вместо безиндексных параметров l и m нужно было бы использовать величины ln и m n. Нужно вывести формулу для вычисления стационарных значений значений р n. Полагая ln =l, а m n =nm при n<c или m n =сm при n³c, можно получить числовые оценки для функциональных характеристик системы, описываемой (М/М/с)- моделью. При заданных значениях ln и m n после нахождения значения р n окажется также возможным получить результаты для СМО других типов.

Для модели (М/М/1):(GD/¥/¥) справедливы следующие утверждения:

С учетом главного условия, которое заключается в том, что в интервале h может произойти максимум одно событие (поступление или выбытие), находим

Для стационарного режима, получим следующие уравнения: