- ПИ – регулятор

; (3.15)

- ПИД – регулятор

. (3.17)

4 АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УТРАВЛЕНИЯ ПО КРИТЕРИЮ ДЖУРИ И ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЦИФРОВЫХ СИСТЕМАХ

При анализе цифровых систем управления их представляют в виде трех элементов: цифрового фильтра (регулятора), фиксатора и приведенной непрерывной части.

где y – дискретное значение регулируемой величины;

f – заданное значение регулируемой величины;

e – ошибка управления;

u – управляющее воздействие.

Рисунок 4.1 Структурная схема цифровой системы автоматического управления

Так как в системе имеет мести фиксатор нулевого порядка с передаточной функцией вида:

, (4.1)

то с учетом того, что z = e –pT , эту функцию можно записать в следующем далее виде:

. (4.2)

Сомножитель 1/р относят к линейной части, поэтому передаточная функция приведенной непрерывной части может быть записана в следующем виде:

. (4.3)

Так как

,

переходная фнукция ленейной части системы, то z – передаточную функцию линейной части находим по следующему выражению:

. (4.4)

Найдем выражение для передаточной функции линейной части:

. (4.5)

Для вычисления h(t) воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Необходимо определить полюса. Для этого необходимо найти корни следйющего уравнения:

()*р = 0.

Решив данное уравнение мы получили , что его корни следующего вида:

p1 = 0;

p2 = - 0,2;

p3 = - 0,33;

p4= -0,25.

Переходная функция линейной части имеет следующий вид:

h(t) = -21,93e-0.2t –4.03e-0.33t +22.86e-0.25t +3.1 . (4.6)

С учетом формулы (4.4) получаем

.

После раскрытия скобок и приведения подобных мы получаем равенство в следующем виде:

. (4.7)

Результирующая передаточная функция разомкнутой системы может быть определена как произведение передаточной функции приведенной непрерывной чати и передаточной функции цифрового фильтра:

. (4.8)

Дискретная передаточная функция замкнутой системы:

. (4.9)

Определим значение W3(z) для каждой из систем:

- система с П – регулятором. Wр(z) = 1.01, Wн.ч.(z) – определеня по формуле (4.7), тогда:

; (4.10)

- система с ПИ – регулятором.

;

Wн.ч.(z) – определена по формуле (4.7), тогда:

; (4.11)

- система с ПИД – регулятором.

,

Wн.ч.(z) – определена по формуле (4.7), тогда:

. (4.12)

После того , как получим выражение дискрктных передаточных функций для всех систем, проанализируем устойчивость этих систем по критерию Джури.

Критерий устойчивости заключается в следующем.

Пусть задан А(z) – характкристический полином:

A(z) = a0zn + a1n-1 + … + an, a0 > 0.

Введем понятие обратного полинома, получаемого перестановкой коэффициентов исходного в обратном порядке:

A(z) = anzn + an-1n-1 + … + a0.

Разделим A(z) на обратной ему. В итоге получаем частное от деления число q0 и остаток А1(z) – полином n-1 степени.

Домножим полученый результат на z-1 получаем:

A1(z) = (a0-anq0)zn-1 + … + (an-1-a1q0).

Затем делим остаток A1(z) на обратный ему A10(z) и определяем новое q1 и A2(z)

и т.д.

Выполняя деление полиномов Ai(z) на обратные ему Ai0(z), получаем последовательность чисел qi = {q0, q1, q2,…,qn-2}.

Необходимым и достаточным условием устойчивости цифровой системы является неравенства:

А(1)=(a0+ a1+ a2+…+an)>0;

(-1)nА(-1)=(a0(-1)n + a1(-1)n-1 +…+an)>0;

|qi|<1, i=0,1,2,…,n-2.

Используя выше изложенное, определим устойчивость наших систем.

Система с П-регулятором.

Характеристический полином имеет следующий вид:

А(1)= 1 - 2.7544 + 2.5359 - 0.7817=0.003039>0 .

(-1)3A(-1)= -(1 - 2.7544 + 2.5359 - 0.7817) >0.

А(z) = z3-2.7544z2+2.5359z - 0.7817

Обратный полином

.

Разделим A(z) на A0(z).

-()	-0.7817=q0, |q0|<1

0,3852z-0,7686z2+0,3888z3

Домножим полученный результат на z-1, тогда:

A1(z)= 0,3852-0,7686z+0,3888z2,

A10(z)= 0,3888-0,7686z+0,3852z2.

Разделим A1(z) на A10(z).

0,3852-0,7686z+0,3888z2	0,3888-0,7686z+0,3852z2
-(0,3852-0,7614z+0,3816z2)	0,99065=q1, |q1|<1

-0.00718z+0.00723z2

Домножим полученный результат на z-1, тогда:

A2(z)= 0.007238z-0.007187.

В результате расчетов получили, что q0, q1, q2 по модулю меньше еденицы, таким образом все три неравенства выполняются. Следовательно цифровая система устойчива.

Система с ПИ-регулятором.

Характеристический полином имеет вид:

Степень полинома n=4. Множество qi = {q0, q1, q2}.