;.

Переходная функция замкнутой системы равна:

.

Для вычисления f[n] найдем полюса функции

.

Полюся функции:

z1 = 1;

z2 = 0.847;

z3 = 0.965;

z4 = 0.973 – j0.0113;

z5= 0.973 + j0.0113.

Производная знаменателя функции:

B’(z) = 5z4-19.027z3+27.171 z2-17.253z+4.110

Подставим значение полюсов функции и значение производной в формулу (4.13), получим выражение для f[n]:

где а = z1;

b = z2;

c = z3;

d = z4;

e = z5;

Изобразим переходый процесс на рисунке 4.3

Рисунок 4.3 - Переходный процесс в системе с ПИ – регулятором

Замкнутая система с ПИД – регулятором.

Передаточная функция для цифровой замкнутой системы с ПИД-регулятором имеет вид:

.

Переходная функция замкнутой системы равна:

.

Для вычисления f[n] найдем полюса функции

.

Полюся функции:

z1 = 1;

z2 = -0,021;

z3 = 0,84;

z4 = 0,935-j0,171;

z5= 0,935+j0,171;

z6=0,98.

Производная знаменателя функции:

B’(z) = 6z5-23.347 z4+34.893 z3-24.39 z2+7.505z-0.660

Подставим значение полюсов функции и значение производной в формулу (4.13), получим выражение для f[n]:

где а = z1;

b = z2;

c = z3;

d = z4;

e = z5;

f = z6.

Изобразим переходый процесс на рисунке 4.4

Рисунок 4.4 - Переходный процесс в системе с ПИД – регулятором.

5 Расчет цифрового фильтра

Для расчета цифрового фильтра, переводящего линейную часть из начального в конечное состояние за минимальное число периодов квантования и обеспечивающего ограничение на заданное управляющие воздействие, необходимо вычислить минимально возможный период квантования, но чтобы было удовлетворено условие:

|Um – q0|£0,05, (5.1)

где Um = 1,0.

Вычисление значения q0 следует начать с определения значений коэффициентов числителя Z-передаточной функции приведенной непрерывной части для принятого периода дискретности. Пусть Z-передаточная функция приведенной непрерывной части представима в виде:

. (5.2)

Тогда Z-передаточная функция оптимального по быстродействию цифрового фильтра Wф(z) имеет вид:

, (5.3)

где pi = biq0, i = 1,2,…,m;

qi = aiq0, i = 1,2,…,m;

.

Воспользуясь формулой (4.7) для Wнч(z) . Находим функции bi , аi и Т0.

Для коэффициентов bi имеем:

; (5.4)

;(5.5)

. (5.6)

Для коэффициентов аi имеем:

; (5.7)

; (5.8)

. (5.9)

Найдем выражение для q0 :

. (5.10)

Определим Т0 при котором выполняется условие (5.1), для этого построим график зависимости и изибразим его на следующем рисунке 5.1.

Рисунок 5.1 – График зависимости |Um – q0(Т0)|

При построении графика видим, что Т0 = 4,61 , q0(Т0) = 1,002.

Определим коэффициенты , подставив найденное значение Т0 в выражение (5.4) и (5.5):

b1(Т0) = 0,718;

b2(Т0) = 0,332;

b3(Т0) = -0,052;

a1(Т0) = -0,932;

a2(Т0) = 0,281;

a3(Т0) = -0,027;

Подставляя найденные значения в выражения (5.2) и (5.3) определим передаточные функции приведенной непрерывной части и цифрового фильтра.

. (5.7)

. (5.8)

Находим Z – передаточную функцию для разомкнутой цифровой системы по формуле:

Wp(z) = Wн.ч.(z) * Wф(z). (5.9)

Определим Z – преобразованную функцию замкнутой системы по каналу задание – управляюшее воздействие по формуле:

, (5.10)

Определим Z – преобразованную функцию замкнутой системы по каналу задание – выходной сигнал по формуле:

, (5.10)

Пусть f – функция определяющая зависимость между q0 от Т0, т.е. q0=f(Т0), тогда f –1 – обратная ей функция, т.е. Т0=f –1(q0). Для того, чтобы найти период квантования необходимо минимизировать функцию Т0=f –1(q0) с учетом условия (5.1).

Так как в явном виде функцию Т0=f –1(q0) вывести сложно, но из графика видно, что она монотонно убывает, следовательно минимум на отрезке q0 Î [3,45; 3,55] будет при q0=3,55.

Расчет Т0 сводится к решению уравнения

. (5.11)

Для решения данного уравнения воспользуемся алгоритмом поиска корня уравнения методом дихотомии. После решения уравнения мы получили, что

Т0 =1,25.

Подставляя значение Т0 =1,25 в выражения (5.4)-(5.9) найдем коэффициенты Z-передаточной функций приведенной непрерывной части.

Тогда

. (5.12)

При этом q0 =3,540075. Согласно формуле (5.3)

. (5.13)

Найдем Z-передаточную функцию разомкнутой цифровой системы. Она равна Wр(z)=Wнч(z)*Wф(z) и равна

. (5.14)

Z-передаточная функция замкнутой цифровой системы по каналу задание – управляющие воздействие равна

(5.15)