Рассмотренные выше колебания являются свободными. Здесь не учтено, что в любой реальной механической системе существуют силы трения.

Таким образом, соответствие между механическими и электрическими величинами при колебательных процессах можно представить в виде таблицы 1

Выведем уравнение свободных незатухающих электромагнитных колебаний в контуре и колебаний горизонтального пружинного маятника. Применяя к пружинному маятнику закон сохранения энергии, получим равенство: +, где

, , тогда имеем

(1)

Так как

и получаем

=const (2)

Следует заметить, что уравнение (2) так же следует из закона сохранения энергии. В уравнении (2) i=q' - мгновенное значение силы тока, qmax - максимальный заряд на конденсаторе (он не должен вызвать пробоя). Делаем вы­вод о зависимости силы тока от величины за­ряда и находим значение максимальной силы тока:

; Откуда

при q=0.

Как видно формально с точки зрения математики уравнения (1) и (2) являются одинаковыми.

Решаем уравнение (2): производная полной энергии по времени равна нулю, так как энергия постоянна.

Следовательно, равна нулю сумма производных по времени от энергий магнитного и электрического полей.

или

(3)

Физический смысл уравнения (3) состоит в том, что скорость изменения энергии магнитного поля по модулю равна скорости изменения энергии электрического поля; знак “минус” указывает на то, что, когда энергия электрического поля возрастает, энергия магнитного поля убывает (и наоборот). Поэтому полная энергия не меняется.

Вычисляя обе производные получаем:

так как , тогда

и

получаем

(4)

Уравнение (4) является основным уравнением, описывающем процессы в колебательном контуре.

Рассмотрим колебания вертикального пружинного и математического маятников.

Выведем груз из положения равновесия, рас­тянув пружину на длину Хm (рис.2) и от­пустим. (Амплитудное растяжение пружины Xm должно быть таково, чтобы был справедлив закон Гука и выводимая на его основе формула потенциальной энергии пружины.)

Рис.2

Мгновенные значения координаты груза х в процессе колебаний лежат в пределах -xm£x£xm . По закону сохраненья энергии имеем:

(5)

где X0=mg/k - статическое растяжение пру­жины (потенциальную энергию груза в поле силы тяжести отсчитываем от уровня равно­весия груза, обозначенного на рис. 2 пункти­ром). Учитывая, что и , получим уравнение колебаний

=соnst (6)

Как видно уравнения колебаний горизонтального и вертикального пружинных маятников одинаковы.

Ускорение свободного падения g, имеющееся в уравнении (5), отсутствует в полученном уравнении колебаний. Следовательно, колеба­ния груза на пружине не зависят от g и оди­наковы, например, на Земле и Луне.

Хотя в дифференциальные уравнения (1) и (6) входят разные величины, математически они эквивалентны.

По аналогии с уравнением (4) описывающем процессы в колебательном контуре, запишем уравнение колебания пружинного маятника:

; ;

получим

, (7)

Отклоним теперь математический маятник длиной l (рис. 3) от положения равновесия на длину дуги sm<<l и отпустим. Мгновен­ная высота подъема маятника