J2==. (4)

Тогда в силу леммы

J==; (5)

так что из абсолютной сходимости рядов (3) и (4) следует и абсолютная сходимость ряда (5); при этом

J=J1+J2.

Б) Для любого постоянного k

=k,

причем из существования интеграла в правой части следует су­ществование интеграла в левой части. (Проверяется непосред­ственно.)

В) Ограниченная на множестве А простая функция f инте­грируема на А, причем, если ½f(x)½£ M на A, то

½½£ Mm(A).

(Проверяется непосредственно.)

2. Определение интеграла Лебега

Классическое определение интеграла, данное О. Коши и разви­тое Б. Риманом, состоит, как известно, в следующем: рассматри­вается конечная функция f(x), заданная на сегменте [a, b]; этот сегмент разбивается на части точками

x0 = a < x1 < x2 < ¼ < xn = b

в каждой части [xk, xk+1] выбирается точка xk и составляется риманова сумма

s = .

Если сумма s при стремлении к нулю числа

l = max(xk+1 – xk).

стремится к конечному пределу I, не зависящему ни от способа дробления [a, b], ни от выбора точек xk, то этот предел I назы­вается интегралом Римана функции f(x) и обозначается символом

.

Иногда, желая подчеркнуть, что речь идет именно о римановом интеграле, пишут

(R).

Функции, для которых интеграл Римана существует, называются интегрируемыми в смысле Римана или, короче, интегрируемыми (R). Для интегрируемости (R) функции f(x) необходимо, чтобы она была ограниченной.

Еще Коши установил, что всякая непрерывная функция интегри­руема (R). Существуют также и разрывные функции, интегрируе­мые (R). В частности, такова любая разрывная монотонная функция.

Легко построить, однако, ограниченную функцию, которая не будет интегрируемой (R). Рассмотрим, например, функцию Ди­рихле , которая определяется на сегменте [0, 1] следующим образом

1, если x рационально,

y(x) =

0, если x иррационально.

Легко видеть, что эта функция не интегрируема (R), ибо сумма s обращается в 0, если все точки x иррациональны и s = 1, если все рациональны.

Таким образом, риманово определение интеграла страдает суще­ственными недостатками - даже очень простые функции оказываются неинтегрируемыми.

Нетрудно разобраться в причинах этого обстоятельства.

Дело заключается в следующем: при составлении сумм Римана s, мы дробим сегмент [a, b] на мелкие части [x0, x1], [x1, x2], ¼ ,[xn-1, xn] (назовем их через e0, e1, ¼ , en-1), в каждой части ek берем точку xk и, составив сумму

s = ,

требуем, чтобы она имела предел, не зависящий от выбора точек xk в множествах еk. Иначе говоря, каждая точка х из множества еk может быть взята за xk, а варьирование этой точки не должно заметно влиять на значение суммы s. А это возможно лишь в том случае, когда варьирование точки xk мало изменяет величину f(xk). Но что же объединяет между собой различные точки х множества ek? Их объединяет то, что они близки друг другу, ибо еk есть малый сегмент [xk, xk+1].

Если функция f(x) непрерывна, то достаточная близость абсцисс х влечет за собой и близость соответствующих значений функции и мы вправе ждать, что изменение точки xk в пределах множества ek мало влияет на величину суммы s, но для функция разрывной это вовсе не так.

Иначе можно сказать, что множества ek составлены так, что только для непрерывных функций значение f(xk) можно считать нор­мальным представителем других значений функции на ek.

Таким образом, самое определение риманова интеграла можно считать вполне оправданным лишь для функций непрерывных, для прочих же функций оно выглядит довольно случайным. Ниже мы убедимся, что для интегрируемости (R) необходимо, чтобы рас­сматриваемая функция не была «слишком разрывной».

Желая обобщить понятие интеграла на более широкие классы функций, Лебег предложил другой процесс интегрирования, в котором точки x объединяются в множества ek не по случайному признаку своей близости на оси Ох, а по признаку достаточной близости соответствующих значений функции. С этой целью Лебег разбивает на части не сегмент [a, b], расположенный на оси абсцисс, а сег­мент [А, В], лежащий на оси ординат и включающий все значения функции f(x):

A = yo < y1 < ¼ < yn = B

Если составить множества ek так:

ek = E(yk £ f < yk+1),

то ясно, что различный точкам х Î еk и в самом деле отвечают близкие значения функции, хотя, в отличие от римановского процесса, сами точки x могут быть весьма далеки друг от друга.

В частности, хорошим представителем значений функции на мно­жестве ek может служить, например, yk, так что естественно поло­жить в основу понятия интеграла сумму

.

Перейдем теперь к точному изложению вопроса.

Пусть на измеримом множестве E задана измеримая ограниченная функция f(x), причем

A<f(x)<B. (1)

Разобьем сегмент [А, В] на части точками

yo = A < y1 < y2 < ¼ < yn = B

и соотнесем каждому полусегменту [уk , уk+1) множество

ek = E(yk £ f < yk+1)

Легко проверить четыре свойства множеств ek:

1) Множества ek попарно не пересекаются: ekek¢ = 0 (k ¹ k').

2) Эти множества измеримы.

3) E =

4) тЕ =

Введем теперь нижнюю и верхнюю суммы Лебега s и S:

S = S =

Если мы положим

l = max (yk+1 – yk),

то будем иметь

0 £ S – s £ lmE. (2)

Основное свойство сумм Лебега выражает

Лемма. Пусть некоторому способу дробления сегмента [А, В] отвечают суммы Лебега s0 и S0. Если ми добавим новую точку дробления и снова найдем суммы Лебега s и S, то окажется