Следствие 1. Если функция f(x) постоянна на измеримом множестве Е и f(x) = с, то

= c× mE.

Следствие 2. Если функция f(x) не отрицательна (не положи­тельна), то таков же и ее интеграл.

Следствие 3. Если тЕ = 0, то для любой ограниченной функ­ции f(x), заданной на множестве Е, будет

= 0.

Теорема 2. Пусть на измеримом множестве Е задана изме­римая ограниченная функция f(x). Если множество Е есть сумма конечного числа или счетного множества попарно не пересекаю­щихся измеримых множеств

E = (Ek= 0, k ¹ k’),

то

=

Свойство интеграла, выражаемое этой теоремой, называется его полной аддитивностью.

Доказательство. Рассмотрим сначала простейший случай, когда число слагаемых равно двум

Е = + (= 0).

Если на множестве Е

A < f(x) < B

и мы, раздробив сегмент [А, В] точками у0, y1,¼ , уn, составим множества

ek = E(yk £ f < yk+1),

ek’= E’(yk £ f < yk+1),

ek’’= E’’(yk £ f < yk+1),

то, очевидно, будем иметь

ek = ek’ + ek’’ (ek’ek’’ = 0),

откуда

=+

н в пределе, при l ® 0,

= +

Итак, теорема доказана для случая двух слагаемых множеств. Пользуясь методом математической индукции, мы легко распространим теорему на случай любого конечного числа слагаемых множеств.

Остается рассмотреть случай, когда

E = .

В этом случае

= mE,

так что при n ® ¥ будет

® 0. (*)

Заметив это, положим

= Rn.

Так как для конечного числа слагаемых множеств теорема уже дока­зана, то

= + .

В силу теоремы о среднем

A× mRn £ £ B× mRn,

а в силу (*) мера mRn множества Rn стремится к нулю с возраста­нием n, откуда ясно, что

® 0.

Но это и означает, что

=

Из этой теоремы вытекает ряд следствий.

Следствие 1. Если измеримые ограниченные функции f(x) и g(x), заданные на множестве Е, эквивалентны между собой, то

=.

Действительно, если

А = Е(f ¹ g), B = E(f = g),

то mA = 0 и

= = 0.

На множестве же В обе функции тождественны и

= .

Остается сложить это равенство с предыдущим.

В частности, интеграл от функции, эквивалентной нулю, равен нулю.

Само собою разумеется, что последнее утверждение необратимо. Например, если f(x) задана на сегменте [-1, +1], так:

1 при x ³ 0,

f(x) =

-1 при x < 0,

то

=+= -1 + 1 = 0,

хотя функция f(x) и не эквивалентна нулю.

Однако справедливо

Следствие 2. Если интеграл от неотрицательной из­меримой ограниченной функции f(x) равен нулю

(f(x) ³ 0),

то эта функция эквивалентна нулю.

В самом деле, легко видеть, что

E(f>0) = .

Если бы f(x) не была эквивалентна нулю, то необходимо на­шлось бы такое n0, что

mE = s > 0.

Полагая

A = E, B = B - A,

мы имели бы, что

³ s, ³ 0,

и, складывая эти неравенства, мы получили бы

³ s,

что противоречит условию.

Теорема 3. Если на измеримом множестве Q заданы две измеримые ограниченные функции f(x) и F(x), то

= + .

Теорема 4. Если на измеримом множестве Е задана изме­римая ограниченная функция f(x) и с есть конечная постоянная, то

= c.

Следствие. Если f(x) и F(х) измеримы и ограничены на мно­жестве Е, то

= -.

Теорема 5. Пусть f(x) и F(х) измеримы и ограничены на измеримом множестве Е. Если

f(x) £ F(x),

то

£ .