Итак:

Аналогично доказываем неравенства:

а/ ^Н^ ^ (^ , а,^ ^ ^ а^ , а< ^ У^ ^ ^ .

Справедливы следующие неравенства:

^ ^ ^-^. ^-л^

^ ^УЧ^ - ^а/-с^- . •а^ '^ q^^^-^q^ ^ -

п-

и причем неравенство возможно только при (Xt •= 0-f. ^ . ^ CU^. В случае ^-^2 - {07~а! ^ ^ ^g2- .

Мы уже это доказали, с общим доказательством можно ознакомиться по книге. Там же приводится доказательство

Я^ ^УЧ.2 , -Л^ ^-^

1.Если г\ = Ct-f ^-Ол-^- .+• ftn. , то максимальное значение О^-О.г,--^ достигается при ol< ^ CLa. s ^ ^. = ^ /^ ,

^(a,.cu- -^)-^-^- .-^A-W.

2. Если Р= ^< • ds.' • ' Л^ , то минимальное значение (а^ <^^-" ^^'-у достигается при CUf Ол^'-- =" <2и. '= ^УР,

r^^ fo/+C?^+,„^Q^^ /Z-'lfP1.

Рассмотрим частную, но практически важную задачу. Задача 1

Найти прямоугольный параллелепипед с данным объемом \/~, чтобы сумма его изменений была наименьшей. Дано: а-гО^-й^^ У _^ .найти min. ( Qfi-Qii-Cts ) При СИ = 0^ - 0-5 = v^

rvuLn, ^С?/-ка,1+-^).=3' v \Г , т.е. ребра куба равны v Г .

Более подробное изложение приложений неравенств к элементарно­му определению экстремумов более подробно изложено в книгах .

1.3. Об экстремальных значениях квадратного трехчлена

Квадратный трехчлен ^-=-а-х. +6-Jc.-f-c , а. ^ о, представим в виде: -У ^ а ( х-f- &/2а. ) 2 -f- ( с - ё г/^^) Возможно 2 случая:

О- -70 и ol^-o .

1. О. 70 , ^гъ У^ С - ао. ^и. ^^~°/2о. 2 clz.o, л^ах ^=- С- ^y^ci, г^/усс ж ^ - %cl

Примеры: / 9 ,

1) ^^•г- 6'зс -^/^^ te-з;^^ / ^•^ ^=^ ^с де^.

2) У---^^S^-У^-2(^--%):LS//^^CL)( У-^/Р п^с ^-Х

Рассмотрим частную задачу, которая играет ключевое значение в теории оптимизации.

Задача 2.

Даны числа Ci^, Ci^, ., Ctn. . Найти число У такое, чтобы сумма / v2 / ,0 / ,2

^п.^ (х-а^)-(-(у-а^)-^,., ч-(^~с^)

имела наименьшее значение. S^ ^•K2-2•(Q^t-CL^-^<^)'X^(Oцi1-Q.^,„^ll^ )^

. ^. ( х- ^^-^) \А, ^ 'А-^^)^^^-^ rv^rv ^^А ^сс эс= ((^+(^f-,„^a^)/h. .

Здесь мы рассматривали лишь простейшие примеры решения задач, с бо­лее сложными задачами можно ознакомиться по литературе.

10

1.4. К решению экстремальных задач с применением производной

Введение изучения производной в школьный курс открыло возмож­ности более глубокого изучения вопросов физики, рассмотрению приклад­ных задач. И задачи на экстремум функции начали рассматриваться с об­щей точки зрения. Например, нахождение экстремума трехчлена = а х2-/- ё х + с =T'fxJ рассматривается при помощи производной:

^= 2.dsei-e^0 ^ r&- -S/2а-критическая точка, при этом если у4. (^+^)^-2oi£>o ^ ^ (е-(-^) = 2ае^о, п^>

г^с^ У- У (- ^/2о.)^ иначе г^гъ У=^(~ wq,) .

В пункте 28 [1] хорошо изложены правила нахождения максимальных и минимальных значений функций.

Однако при решении некоторых задач применение элементарных способов более эффективно, чем применение производной. Например, за­дача № 367 решается очень просто элементарным способом:

Данное положительное число разложить на два слагаемых так, чтобы произведение было наибольшим.

Решение: Пусть U - данное число, а X - одно из слагаемых. Из усло­вия ^а^ L X^-^J только при Y= О-- Х .находим Х= °-/S .Об­общение этой задачи, решаемое в вузовских курсах при помощи экстрему­ма многих переменных следующее.

Задача 3. Положительно^число OL требуется разбить на П. неотри­цательных слагаемых так, чтобы и произведение было наибольшим. Если <Х данное число, то ft слагаемые будут Я?у, ,„, Д?п-/ ; Ci-( Хг^-,„ч- ^.i). При этом произведение Лу- S?s. •,.,' Хц^' L О. -(х/ ч- ,„ ^ ЗСл.^ ) 3 достигает максимума при Эрг ^ Хл = ,„ = X^.f ^ CL ~ {'У-f -+,., -<• Хп - /) . Отсюда у,-= Ci-fn-()Vf ц ^= ^/п ,т.е. все слагаемые равны ^/г. . А решение этой задачи при помощи экстремума функций нескольких переменных весьма затруднительно.

15

1.6. Экстремальные задачи в неполной средней школе

В курсе математики V - VI классов учащимся нередко приходится решать задачи, в которых допускается несколько или даже много решений, причем далеко не всегда равнозначных. В таких случаях можно ставить дополнительный вопрос: найти наиболее выгодное решение, т.е. решать экстремальные задачи. С такими задачами приходится сталкиваться при изучении следующих разделов: "Неравенства", "Площадь и периметр пря­моугольника", "Натуральные числа", "делимость натуральных чисел".

Поскольку ученики V-VI классов встречаются с двойным неравен­ством, то в этих классах методом оценки можно решать задачи на нахо­ждение наибольшего и наименьшего значения линейного выражения a. y-h^ где /ч^эе^/г (лги/?.- целые неотрицательные числа, ^г- /• п- ).

• -'' ' ^

Задача: Стоимость телеграммы вычисляется почтовыми работни

ками по следующему правилу: по 5 копеек за каждое слово и еще 20 копеек за отправку. Какая может быть наибольшая и наименьшая цена телеграммы, если количество слов в теле­грамме определяется решением неравенства: /^ х- ^ ^0 ?

Решение: решение сводится к нахождению наибольшего и наимень­шего значения выражения S'x-^-20 , если //^ а? ^^ , л G /М Сначала можно предложить вычислить значение выражения при несколь­ких значениях переменной, взятых из промежутка ^ ^ х ^ ^ . Замеча­ем, что сумма будет наибольшая, если слагаемое -Ух будет наибольшим, т.е. будет равно 5*40и наименьшим, если слагаемое .^ будет наимень­шим, т.е. будет равно 5*17.

Среди экстремальных задач геометрические задачи на вычисление площадей и периметров представляют очень большой интерес. Решение этих задач в V-VI классах методом оценки формирует первое представле­ние о максимальном произведении при постоянной сумме двух перемен­ных и о минимальной сумме при постоянном произведении.

Задача. Начертите прямоугольник, периметр которого 36 см, и вычислите его площадь.

Решение: оформим в виде таблицы:

16