К решению нелинейных вариационных задач
Рефераты >> Математика >> К решению нелинейных вариационных задач

Таким образом, искомую' функцию ^(^-} ищем в табличной форме:

ое

До

^

1

'-<?«.- -f

У

<--<,ц,

^

^

^

1 ' 1

^

^

uf^\~ ^l(^)-^) ^^^

У 1 / ——И——— " ~И—— '

(2)

интеграл (1) заменим суммой:

Зчт. п-f

^1^']р(^')^^Г(л^, ^^).L --

—лл t ^ J J

- Ф^-^-J

40

Ординаты У/, ., j//i-/ выбирают так, чтобы функция 9? (у^ •, ^-/ У достигла экстремума ( как функция л---/ переменных У-/,-•• ^-•r ), т.е. находятся из условия:

9(р - о - ' ^^ - О . ^ ' •" ; ^ ""

б)^

^0 ;

(3)

/ ^Р ( Ъ^

В целях достижения достаточной точности число /I

берут до-

вольно большим. При этом приходится решать систему типа

(3)с n-f

неизвестными, т.е. высокого порядка.

   

^

       

•i1

\

         
       

^

.'^/

       
 

Ч--

'л

г г -

   

^-

 

I/t•

 
 

-X'o 3-i ЗСд, Эе,- Jc't'+i' ^ ,

Рис. 11

Гк Я1.

Пример. Найти приближенное решение задачи о минимуме функ­ционала ^

^J-J^+^b^^e, ^(oY--^^)--O

0 f /,<9 Решение. Возьмем Л = ~~s~ ^ °/^ и положим

^-^о)-0 ; ^^(^2); ^-^(О^),

^-^°^ ^--Ц1°^^ ^-:^~-0• Значения производных приближенно заменим по формуле

^•-^'(v^)к ^^ ^-

Тогда

41

^-^

о.г

t/ у/п /'} - ^-^

; У^б

; ^^Л -^2-

,7 - I -/ - ^ . ^ ^ Данный интеграл заменяем суммой по формуле прямоугольников

"S-f^d^ ^ с ^o.}+^)^^^^)']-k

Будем иметь а-

Будем иметь а'

щ-w'.) <^-/^ (о^ ^•°)^ (W^y^- ^

-. (^)^^S.^ . (^L)^^ ^-^ ^

(W^^^^-0^

Будем иметь а-

-+

Составляем систему уравнений для определения ^ ^ ^ /Л, иско­мой ломаной:

^н^' 2(^'OJ•/ ^ -^^^^"^^'^^ ^^0

^ '-[(^•д ^^/ +^•г^^X^+ ^.г.^ •^ -о •^гГ^•г^-^/+^^-м^+^^'^L7г=o. ^-f^'^-^-^^'^^^'^^ ^

<7 \ у ( ^л^. и^л- •9^-^---^

или

^^^^ "-^ -=~^о^ ^ -Ь ^,00^^ - ^ = -0,0^

- ^ -+ ^^ -^ , .о^

-^ + S,00i{^ = - ^0^!L ^

у^^^т; ^--^w; у^о^^^. ^ о,^ш.

_т.е.

Х

о

0,2

0,4

0,6

0,8

1

^

о

0,132

0,273

0,402

0,522

0

7

Точное решение исходной задачи:

^TS^^; ^~ (^ ~c' ~ ^"-у^-^

Тогда решение краевой задачи

/Sri%- ^f0^^ ^^0

42

будет: u(r)^(eл-ix)-e/(^-ei)+x.^-q^6sя.(e!^e^)•^

Приведем сравнительную таблицу:'

У

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

^

0

0,13712

0,27341

0,40211

0,52231

0

^-

о

0,13693

0,27142

0,40071

0,52199

0


Страница: