К решению нелинейных вариационных задачРефераты >> Математика >> К решению нелинейных вариационных задач
Н^(^).] '- ^п- ^Су(^)] ^ Л3^ Х^Х^ . Например, для задачи
п^- JYy'^ ^х, ^о)--о, ум^ (&)
/ функции i/ =- х. , ol 6r [p, будут удовлетворять условиям :
ylo)^o, ^}--L
При этом .,
г / ^
У г,. ^ - Я U^) ^ ^)^. ^ ^ ^-. fU).
33
|
|
задача свелась к нахождению минимума обычной функции -fW:
n'J) - ^^°6 А /,
\{^~~^^~ ~^^ ^0 -
(^^)(^1)^-2-(2^-Y)^0 ^
U -г) (^3^ з^ ^ з^ + /) ^о -7 о^ = ^.
Нетрудно показать, что при +{2) ^ /^-п г(0^/ ^ Итак, ь.^ -УГ^-^^,-^0^ ^^> ^ З";
решение задачи будет: и=- ое^' Рассмотрим семейство кривых (см.рис.8):
|
|
у f^ jc^ = y^ + с/. ^ ^ , где ^ ^ -произвольная функция, но ц (зе^)^ И (v.s.}~-C> (см .рис. 9).
'.( - i A
Тогда при малых об для кривых L/(o[^oc,) интеграл (1) будет принимать значения близкие к минимальному и зависит от параметра^:
.Vi
(з)
Если мы предположим, что функция у^ доставляет минимум J^v, то необходимое условие минимума будет: ^/,
oL-JW
^^ ^
Продифференцируем (3) по Л:
|
|
|
|
dl. ? d^d-r,- Тг C)F •^ ^ эр •^7,/
~си ~ J ^г^-J l &r й-+ у cSrJ^ ~-
я< yf q v
~- t^rt^rt'^-
34
Имеем:
.Г;. ^
JVt>^- i^^
Л'« JC< -ха/2г
- Fn' • v ^ - ( ^
Поэтому:
^ - ( Г F' ^ F' 7 и/ )У
^^-J Lf^^^J^)^-
л/
-h^ri.-^^^o ®.
'VI.
/ ®
Законность перехода ^ обуславливает следующая основная лемма вариационного исчисления:
Если Ф(^) , ^) непрерывны на JZ У<; % 7
и^Н^-^ то из
У
J^?^^A^--^
|
|
вытекает, что ^(ус) = <9 при ^ ^ у ^ СР^ .
35
|
В нашем случае: р^у^ч- ^и , pi,/ -- ^у , поэтому и получим с. _ сл . с,/ = О ^ ^ - -^г (о-^')^ и"^ л. ^у'^^х+^ , ц^ л^е^^-с^ ; уо).о^Го^^^^ , ^-^=о ^(<)=.t Z^^ ^ + ^=3 отсюда у = ^ - решение. Таким образом, наше решение совпадает с решением полученном из самого определения минимума функционала. Следует подчеркнуть, что решение краевой задачи (5) не является тривиальным и разработка методов решения вариационной задачи (1) весьма актуальна. |
Доказательство (от противного). _ _ Пусть ^(^^О ^ ^(^)7У>0 при Л^^ж^з^
ПОЛОЖИМ ({X.- Зй)^^- Хг) ^ "Р" Зс/^ Зе^. Д^
^ (9С-) = ^ о при Xf ^ зе^- ДС,,, L у 5с-^ 5с ^ ^.
—t.
Тогда по свойству интегралов [ g>^L [^olx. >0
У.-1
вопреки допущению. Значит ^Р ( ^,) = О. Итак, мы пришли к следующему утверждению:
задача (1) эквивалентна краевой задаче:
^'-^ /У= ° ' ^)^ ^)^ , . (5)
Дифференциальное уравнение /•?/ - ^' F^' ~ u
носит название Эйлера-Лангранжа.
Решим пример (2), сводя к краевой задаче (5). ,ii . //// t:' - о,/^
Примеры аналитического решения вариационных задач
f!/l
1) ^ у. / Су-\у' -7^ - о. ^о)= о. ^W- i -
Составим уравнение Эйлера-Лангранжа:
~^-^'^-°- -^~У-° - ^-/ -
и^^и^О ^ Lf ^ C^-w эе^ gl ^ ^;
ffo )= О СО, • c^-s 0+ ^ -Л fi о = О Г ^ _
^№)^ " lc. ш^^(^-^%^1 ^ 1 e^i
Ответ: (у -. St-^i X.
2) ^;'- J ^^ •^/г J^ ^ у^'^' ^ ^;= 6)
^ - (F^L -о ^ ^"^6^ ^^"^б^-о ->
|
/ • \ t -7->-^~' ^=о - t ^-о 'L с^^^ |
и-.- х-^+Сгзс-t- G. ;
{^(^)^ (-f-C^C^-f \_^(о):о л- L а-о
Ответ: и = -х3
3) ^у- / (^у-^^ ^^ ^•^--^•
^-^')^о - ' ^^^-.^--^^.^^ f^)^ ГС^ . , ,
Г^г - [с^^ ' cf-^^
Ответ: Ут^1^^,
-f
4) ^У" J (^-^^)d^,
^(^)--^ ^(^)--^
^^v^0 ^ ^^-2Э=^- ^-^-^^^^^ ;
^f-/)=^ ^' ^^-^= ^ ^-i ^[^/6 ^^^^ "
^ - %
р - /-^
и ^ о
Ответ: У^ - ^Уе -* % л 5) о .
^TyJ 'J (У-i'^Jc/x ; ^-i)--0,y[o)-Z .
fy - (Fy'J^O ^ y'^x^o ^ a—^/e-'-^Kft't ;
r и(-i)^o f^ _ с, +U ^о
i^^ 'с . о^ -7
Г^ - ^/6
Lu ' ^
Ответ: ^ -»%+ ^^^
б) dC^-- j "А (у' ^у/А / ^= /, ^/^Д Г^/г
^- ^^ - -^^-^^
^ (^ й^-г ^-^ С( • ^/г X. ;
^[о)-- у ^f^- CUS^^O •^•/г6?- ^ ^)-% ^ L^- ^^-^-^
ft-^, C^~-o
Ответ 1/' - (^^" % 7) ^ У - ] if . 4у^^ , yfo)-e i, ^ /.
|
|
Уравнение Эйлера-Лангранжа:
^/,и^о^ fy^^y ^y^^e^^Qe
е^ f^e^e^^ Г^-^
38 2(f-^
Ответ: ^ е щ 8) ^у= / ^--^^ , ^о)-^(^)-0
Л/ - f^^ = о ^ с/ ^У^ 0 •=> у= ^ ^J ^ ^ ^/1- ^ 7
С и{о)^ о . С С^- cpso 1- ^-^по-^о i ч (^ )^о ^ I ^ • с^злП^ G • si^s. /7= о
С ') Р L { = и '> (- д. _ произвольное
Ответ: и ^ d ^п. х- - множество решений.
39
3.2. Метод Эйлера в вариационной задаче
Основоположником конечно-разностного метода в вариационном исчислении является Леонард Эйлер. Однако, в связи с громоздкими вычислениями, которые требует данный метод, до изобретения ЭВМ он не получил широкого применения. Лишь компьютерная революция в математике способствовала широкому внедрению метода Эйлера, и в настоящее время разные модификации его получили распространение в прикладной математике.
Пусть дана простейшая вариационная задача: найти экстремум функционала ^
|
(1) |
^£^)] - jf f^y,^)^
yf^)-^. ^/(^)-у^.
т.е. здесь надо найти такую кривую у С^) -, чтобы
^п: ^Г^;7= yCyW3 .
По методу Эйлера разобьем интервал Гль^З на П. частей точками (см.рис. II): , ^ з^-^ Л^^ ЛЬ-^^ , ^= <2, ., гъ ^ h- ~ ^
Необходимо найти ординаты у/, -, 4)- < соответствующие точкам х'/ i' /
--"-/, .,. , J^.n.-< •
Скачать реферат
