Ш. Решить дифференциальное уравнение: у ~У0 граничных условиях: С и Со) ^ 5

ti^)-yY^r

Общее решение будет Краевые условия дают:

fc<^e»=3

\С^ Oe'-^e^/

Решение будет ^^ f-f- He - единственное решение. Очевидно, для решения краевой задачи основной трудностью являет­ся нахождение общего решения дифференциального уравнения. Поэтому рассмотрим приближенные методы решений.

2.3. Приближенный метод решения краевых задач. Конечно-разностный алгоритм

Решение краевой задачи методом конечных разностей несколько сложнее по сравнению с задачей Коши для того же дифференциального уравнения.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с краевыми условиями:

^\p(^^^-,H^^(a)^,y(S)^. (1)

Разобьем основной отрезок [ л ; о ] на /г равных частей длины

^= ^-о-. Точки разбиения имеет абсциссы:

/г' f р '

Ху^ О,, .ЗС^ЭСЬ^Л., :32п.=й? , <.^0^, -,г^.

Введем обозначения: ^ (^)^У<-, У (^)^^^ / ^^'')=^"^ .

р(^)^р^ ^С^)-у^ т^^-.

Заменяем производные конечно-разностными соотношениями:

и'- ^^- </- ^-^- '/- У--;^-'

Уо " ~^^ ^ ^ - «^^ , •У^ - ——^——— , ,^ (^-^ -^21)/, ^ ^-2^^^

У. - V ^ 7—//^ J^

Тогда задача (1) сводится к решению системы из ^ - f ли­нейных уравнений с /г.-/ неизвестными Чг :

(^ - ^-У^)/^ -+- Р. (^ -^)/2k ^^ - ^ ,

^--^ , ^^- (2)

Эту систему представим в виде:

-^ ^ 0-^г - •С.^ = S^ ^ Q, = (^~2k^)/ (. ,

tc -~ (^p^)/L , S. --^. h/i^ £ ^-^/).

(2')

Система (2') имеет трехдиагональную расширенную матрицу:

/-й^ -У, О О .--; . О f^-^/

- ^ а^ - ^ о • . \ . о i &

О - / Дд - ^ .-; ^ О i &

\ о о о о "^ ^-< ^^ 1 ^"-<

31

(3')

где с/= а^ с, = а^ - ^-i-, А^-^л ^ = & + "^"г"

Тогда алгоритм решения системы (2) представим в виде алгоритма:

1. {,-- 2-Lp^ I, =<?-^; ft/ - ^^)/i,, О. = ^-^^/^,

i^^+kp,)/^, ^--(^^p.)/^; ^^-^4^ ^=-^^//.;

(4)

2. e/--ft<, с^о,- -1^ ^=^,

з: ^-< -. f<a<,^ -^ г:л-г ^) /с^ ;

У^ = (о1^ ^ ^^ ^+,^)/Сп-г > ^ ^ ^ з/ ., о-i.

Алгоритм называется корректным, если все действия в нем выполне­ны, т.е. ^ ^о, U i-0 / G.f =<?, CiTt-o . Устойчивость алгоритма обуславливается выполнением условия ; Уп-ч, = •с^Н/^/-'1 ^ '^/Сп-^ , |^>-(;/Ся-<: I ^ ^ . Нетрудно видеть, если исходное уравнение (1) нелиней­ное, то система типа (2) также будет нелинейной, а алгоритмы типа (4) со­ставить невозможно.

^ .- Рассмотрим примеры решения краевых задач для дифференциаль-'HbDF'BTOporo порядка с переменными коэффициентами, где как правило аналитических решений не существует.

Пример!.

Дана краевая задача: i/"^- 2^ ^ ^и--= s^ft эс. Ч'(о)=- О, ^ ('/) '= 3 . Результаты вычисления этой задачи по алго­ритму (4) получим в виде таблично заданной функции.

32

III. ПОНЯТИЕ ОБ ОДНОМЕРНОЙ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧЕ

Исходя из общего закона сохранения энергии многие физические за­дачи при адекватном построении их математических моделей сводятся к вариационным задачам. Вариационное исчисление занимается задачей отыскания наибольших и наименьших значений функционалов.

3.1. Постановка простейшей задачи

Задача состоит в определении функции и •=. •? ('>-) , которая со­общает экстремальное значение некоторой величины У= ^У^у7 , т.е. функционала, ^г.

Предположим, что ^ J р ^ у. /) ^ ^

7<

^х'^^; ^^ (1)

где г (. эе/ у, ^/ - заданная функция, и а - заданные числа.

У^

Различным кривым ц : и [ ^е.) , проходящим через граничные точ­ки С эс<; ^ ) и (^л.', Уи.) , будут отвечать различные величины. Определим такую функцию у ^ i/ С^) , для которой ^ i- ^'('^У'^ , т.е. функционал принимает максимальное или минимальное значение. Да­лее будем рассматривать задачу только на минимальное значение УГ^'(>)], т.е. будем искать такую функцию у= уЛ^ , чтобы было