Из формулы (1) следует, что для любого комплексного числа Z, причем =0 тогда и только тогда, когда Z=0, т.е. когда A=0 и B=0. Докажем, что для любого комплексного числа Z справедливы формулы:

4.СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Суммойдвух комплексных чисел A+B·i и C+D·iназывается комплексное число (A+C)+(B+D)·i, т.е. (A+B·i)+(C+D·i)=(A+C) + (B+D)·i

Произведением двух комплексных чисел A+B·i и C+D·i называется комплексное число (A·C – B·D)+(A·D+B·C) ·i, т.е.

(A + B·i)·(C + D·i)=(A·C – B·D) + (A·D + B·C)·i

Из формул вытекает, что сложение и умножение можно выполнять по правилам действий с многочленами, считая i2= –1. Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами действительных чисел. Основные свойства:

Переместительное свойство:

Z1 +Z2=Z2+Z1, Z1·Z2=Z2·Z1

Сочетательное свойство:

(Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3), (Z1·Z2)·Z3=Z1·(Z2·Z3)

Распределительное свойство:

Z1·(Z2+Z3)=Z1·Z2+Z1·Z3

Геометрическое изображение суммы комплексных чисел

Согласно определению сложения двух комплексных чисел, действительная часть суммы равна сумме действительных частей слагаемых, мнимая часть суммы равна сумме мнимых частей слагаемых. Точно также определяются координаты суммы векторов:

Сумма двух векторов с координатами (A1;B1) и (A2;B2) есть вектор с координатами (A1+A2;B1+B2). Поэтому, чтобы найти вектор, соответствующий сумме комплексных чисел Z1 и Z2 нужно сложить векторы, соответствующие комплексным числам Z1 и Z2.

Пример 1: Найти сумму и произведение комплексных чисел Z1=2 – 3×i и

1 Способ:

Z2= –7 + 8×i.

Z1 + Z2 = 2 – 7 + (–3 + 8)×i = –5 + 5×i

Z1×Z2 = (2 – 3×i)×(–7 + 8×i) = –14 + 16×i + 21×i + 24 = 10 + 37×i

2 Способ:

5.ВЫЧИТАНИЕ И ДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Вычитание комплексных чисел – это операция, обратная сложению: для любых комплексных чиселZ1 и Z2 существует, и притом только одно, число Z, такое, что:

Z + Z2=Z1

Если к обеим частям равенства прибавить (–Z2) противоположное числу Z2:

Z+Z2+(–Z2)=Z1+(–Z2), откуда

Z = Z1 – Z2

Число Z=Z1+Z2 называют разностью чисел Z1 и Z2.

Деление вводится как операция, обратная умножению:

Z×Z2=Z1

Разделив обе части на Z2 получим:

Z=

Из этого уравнения видно, что Z20

Геометрическое изображение разности комплексных чисел

Разности Z2 – Z1 комплексных чисел Z1 и Z2, соответствует разность векторов, соответствующих числам Z1 и Z2. Модуль разности двух комплексных чиселZ2 и Z1 по определению модуля есть длина вектора Z2 – Z1. Построим этот вектор, как сумму векторов Z2 и (–Z1) (рисунок 4). Таким образом, модуль разности двух комплексных чисел есть расстояние между точками комплексной плоскости, которые соответствуют этим числам.

Это важное геометрическое истолкование модуля разности двух комплексных чисел позволяет с успехом использовать простые геометрические факты.

Пример 2: Даны комплексные числа Z1= 4 + 5·i и Z2= 3 + 4·i. Найти разность Z2 – Z1 и частное

Z2 – Z1 = (3 + 4·i) – (4 + 5·i) = –1 – i

==

6.ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА

КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Запись комплексного числа Z в виде A+B·i называется алгебраической формой комплексного числа. Помимо алгебраической формы используются и другие формы записи комплексных чисел.

Рассмотрим тригонометрическую форму записи комплексного числа. Действительная и мнимая части комплексного числа Z=A+B·i выражаются через его модуль = rи аргумент j следующим образом:

A= r·cosj ; B= r·sinj.

Число Z можно записать так:

Z= r·cosj+ i··sinj = r·(cosj + i·sinj)

Z = r·(cosj + i·sinj) (2)

Эта запись называется тригонометрической формой комплексного числа.

r =– модуль комплексного числа.

Число j называют аргументом комплексного числа.

Аргументом комплексного числа Z0 называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором Z, причем величина угла считается положительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательной, если производится по часовой стрелке.

Для числа Z=0 аргумент не определяется, и только в этом случае число задается только своим модулем.

Как уже говорилось выше = r =, равенство (2) можно записать в виде