A+B·i=·cosj+ i··sinj, откуда приравнивая действительные и мнимые части, получим:

cosj =, sinj = (3)

Если sinj поделить на cosj получим:

tgj= (4)

Эту формулу удобней использовать для нахождения аргумента j, чем формулы (3). Однако не все значения j, удовлетворяющие равенству (4), являются аргументами числа A+B·i. Поэтому при нахождении аргумента нужно учесть, в какой четверти расположена точка A+B·i.

7.СВОЙСТВА МОДУЛЯ И АРГУМЕНТА

КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

С помощью тригонометрической формы удобно находить произведение и частное комплексных чисел.

Пусть Z1= r1·(cosj1+ i·sinj1), Z2 = r2·(cosj2+ i·sinj2). Тогда:

Z1Z2= r1·r2[cosj1·cosj2 – sinj1·sinj2 + i·( sinj1·cosj2 + cosj1·sinj2)]=

= r1·r2[cos(j1 + j2) + i·sin(j1 + j2)].

Таким образом, произведение комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, можно находить по формуле:

Z1Z2= r1·r2[cos(j1 + j2) + i·sin(j1 + j2)](5)

Из формулы (5) следует, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Если Z1=Z2 то получим:

Z2=[r·(cosj+ i·sinj)]2= r2·(cos2j+ i·sin2j)

Z3=Z2·Z= r2·(cos2j+ i·sin2j)·r·(cosj+ i·sinj)=

= r3·(cos3j+ i·sin3j)

Вообще для любого комплексного числа Z= r·( cosj+ i·sinj)0 и любого натурального числа n справедлива формула:

Zn=[ r·(cosj+ i·sinj)]n= rn·( cosnj+ i·sinnj),(6)

которую называют формулой Муавра.

Частное двух комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, можно находить по формуле:

[ cos(j1 – j2) + i·sin(j1 – j2)].(7)

= = cos(–j2) + i·sin(–j2)

Используя формулу 5

(cosj1 + i·sinj1)×( cos(–j2) + i·sin(–j2)) =

cos(j1 – j2) + i·sin(j1 – j2).

Пример 3:

Z3 = –8

Число –8 запишем в тригонометрической форме

8 = 8·( cos(p + 2pk) + i·sin(p + 2pk)), kÎZ

Пусть Z = r×(cosj + i×sinj), тогда данное уравнение запишется в виде:

r3×(cos3j + i×sin3j) = 8·( cos(p + 2pk) + i·sin(p + 2pk)), kÎZ

Тогда 3j =p + 2pk, kÎZ

j= , kÎZ

r3 = 8

r = 2

Следовательно:

Z = 2·( cos() + i·sin()), kÎZ

k = 0,1,2 .

k = 0

Z1 = 2·( cos + i·sin) = 2·(i) = 1+×i

k = 1

Z2 = 2·( cos( + ) + i·sin( + )) = 2·( cosp + i·sinp) = –2

k = 2

Z3 = 2·( cos( + ) + i·sin( + )) = 2·( cos + i·sin) = 1–×i

Ответ: Z13 = ; Z2 = –2

Пример 4:

Z4 = 1

Число 1 запишем в тригонометрической форме

1 = 1·( cos(2pk) + i·sin(2pk)), kÎZ

Пусть Z = r×(cosj + i×sinj), тогда данное уравнение запишется в виде:

r4×(cos4j + i×sin4j) = cos(2pk) + i·sin(2pk)), kÎZ

4j = 2pk, kÎZ

j = , kÎZ

r4 = 1

r = 1

Z = cos + i×sin

k = 0,1,2,3 .

k = 0

Z1 = cos0+ i×sin0 = 1 + 0 = 1

k = 1

Z2 = cos + i×sin = 0 + i = i

k = 2

Z3 = cosp + i·sinp = –1 + 0 = –1

k = 3

Z4 = cos + i×sin