Ответ: Z13 = 1

Z24 = i

8.ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ

Из формулы 6 видно, что возведение комплексного числа r·( cosj + i·sinj) в целую положительную степень с натуральным показателем его модуль возводится в степень с тем же показателем, а аргумент умножается на показатель степени.

[ r·(cosj + i·sinj)]n= rn·( cos nj + i·sin nj)

Число Zназывается корнем степени n из числа w ( обозначается ), если Zn =w.

Из данного определения вытекает, что каждое решение уравнения Zn =w является корнем степени n из числа w. Другими словами, для того, чтобы извлечь корень степени n из числа w, достаточно решить уравнение Zn =w. Если w=0, то при любом n уравнение Zn =w имеет только одно решение Z= 0. Если w0, то и Z0, а, следовательно, и Zи w можно представить в тригонометрической форме

Z = r·(cosj + i·sinj), w = p·(cosy + i·siny)

Уравнение Zn = w примет вид:

rn·( cos nj + i·sin nj) = p·( cosy + i·siny)

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются слагаемыми, кратными 2p. Следовательно, rn = p и nj = y + 2pk, гдеkÎZ или r = иj = , где kÎZ.

Итак, все решения могут быть записаны следующим образом:

ZK=[cos() + i·sin()], kÎZ (8)

Формулу 8 называют второй формулой Муавра.

Таким образом, если w0, то существует ровно n корней степени n из числа w: все они содержатся в формуле 8. Все корни степениn из числа w имеют один и тот же модуль , но разные аргументы, отличающиеся слагаемым, кратным числу . Отсюда следует, что комплексные числа, являющиеся корнями степени n из комплексного числа w, соответствует точкам комплексной плоскости, расположенным в вершинах правильного n– угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в точке Z = 0.

Символ не имеет однозначного смысла. Поэтому, употребляя его, следует четко представлять себе, что под этим символом подразумевается. Например, используя запись , следует подумать о том, чтобы было ясно, понимается под этим символом пара комплексных чисел i и –i, или одно, то какое именно.

Уравнения высших степеней

Формула 8 определяет все корни двучленного уравнения степени n. Неизмеримо сложнее обстоит дело в случае общего алгебраического уравнения степени n:

an×Zn +an–1×Zn–1+. +a1×Z1+a0=0(9)

Где an, ., a0 – заданные комплексные числа.

В курсе высшей математики доказывается теорема Гаусса: каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайней мере один корень. Эта теорема была доказана немецким математиком Карлом Гауссом в 1779 году.

Опираясь на теорему Гаусса, можно доказать, что левая часть уравнения 9 всегда может быть представлена в виде произведения:

,

Где Z1, Z2, ., ZK – некоторые различные комплексные числа,

а a1,a2, .,ak– натуральные числа, причем:

a1 + a2 + . + ak = n

Отсюда следует, что числа Z1, Z2, ., ZK являются корнями уравнения 9. При этом говорят, что Z1является корнем кратности a1, Z2 – корнем кратности a2 и так далее.

Если условиться считать корень уравнения столько раз, какова его кратность, то можно сформулировать теорему: каждое алгебраическое уравнение степени nимеет в множестве комплексных чисел ровноn корней.

Теорема Гаусса и только что сформулированная теорема дают решения о существовании корней, но ничего не говорят о том, как найти эти корни. Если корни первой и второй степени могут быть легко найдены, то для уравнений третей и четвертой степеней формулы громоздки, а для уравнений степени выше четвертой таких формул вообще не существует. Отсутствие общего метода не мешает отыскивать все корни уравнения. Для решения уравнения с целыми коэффициентами часто оказывается полезной следующая теорема: целые корни любого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена.

Докажем эту теорему:

Пусть Z = k – целый корень уравнения

an×Zn + an–1×Zn–1 + .+ a1×Z1 + a0 = 0

с целыми коэффициентами. Тогда

an×kn + an–1×kn–1 + .+ a1×k1 + a0 = 0

a0 = – k(an×kn–1 + an–1×kn–2 + .+ a1)

Число в скобках, при сделанных предположениях, очевидно, целое, значит k – делитель числа a0.

9.КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ С КОМПЛЕКСНЫМ НЕИЗВЕСТНЫМ

Рассмотрим уравнение Z2 = a, где a – заданное действительное число, Z – неизвестное.

Это уравнение:

1. имеет один корень, если a = 0.

2. имеет два действительных корня Z1,2=, если a > 0.

3. не имеет действительных корней, если a < 0. Но имеет два комплексных корня.

Запишем число a в виде a = (– 1)×(– a) = i2×= i2×()2. Тогда уравнение Z2 = a запишется в виде:Z2 – i2×()2 = 0

т.е. (Z – i×)(Z + i×) = 0

Следовательно, уравнение имеет два корня: Z1,2 = i×