Z1 =i

k = 1

Z2 = cos() + i·sin() = 0 + i= i

Z2 = i

k = 2

Z3 = cos() + i·sin() = –i

Z3 = –i

k = 3

Z4 = cos() + i·sin() = –i

Z4 = –i

k = 4

Z5 = cos() + i·sin() = 0 – i= –i

Z5 = – i

k = 5

Z6 = cos() + i·sin() = i

Z6 =i

Ответ: Z1 =i , Z2 = i, Z3 = –i , Z4 = –i, Z5 = – i,Z6 =i

3)

Доказать, что сумма двух комплексных чисел не превосходит сумму модулей этих чисел.

1 СПОСОБ:

Пусть Z1=X+Y×iи Z2=U+V×i

Доказать что:

Предположим противоположное:

> / т.к. корень существует только из неотрицательного числа, то можно возвести в квадрат обе части неравенства.

X2+2·X·U+U2+Y2+2·Y·V+V2 > X2+Y2+U2+V2+2·

2·(X·U+Y·V) > 2·

Если мы предположили верно, то X·U+Y·V > 0, а поэтому возведем в квадрат:

X2·U2+2·XU·Y·V+Y2·V2 > X2·U2 + X2·V2+Y2·U2+Y2·V2

2·X·Y·V·U > X2·V2+Y2·U2

X2·V2+Y2·U2 – 2·X·Y·V·U < 0

(X·V + Y·U)2 < 0

Это невозможно, т.к. A2 0, значит полученное нами неравенство неверно.

что и требовалось доказать

2 СПОСОБ:

Пусть Z1 и Z2 – два произвольных комплексных числа. Z1­– соответствует точке A, Z2 – соответствует точке B.

В силу неравенства треугольника

т.е.

Что и требовалось доказать.

[S1]