За счёт внешнего воздействия – вынужденное движение.

Для ответа на вопрос, устойчива ли система или нет, надо решить однородное уравнение с начальными условиями.

Свободное колебание в системе определяются однородным дифференциальным уравнением решение которого имеет вид где

с1, с2…, сn- постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий,

l1, l2…, ln – корни характеристического уравнения

Корни характеристического уравнения не зависят ни от вида возмущения, ни от начальных условий, а определяются только коэффициентами а0, а1, а2,…,аn, то есть параметрами и структурной системы.

№№ п.п.	Корни характ. уравнения	Слагаемое Своб. решения	График функции члена реш.	Примечание
1	2	3	4	5
1	>0, действит.			система неуст.
2	<0, действит.			Данный член®0
3	=0			Система неустойчивая; возможно нейтральная
t A1 4	Два нулевых корня			Система неустойчивая
5	Корни комплексные, действительная часть положительная			Система неустойчивая
6	Корни комплексные, действительная часть отрицательная			Возможно система устойчивая
7	Корни мнимые сопряженные			Система неустойчивая; возможно на грани устойчивости

Пояснения к таблице:

1. Если корни характеристического уравнения вещественные и неравные и среди корней имеется хотя бы один ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ корень li, то соответствующее слагаемое - возрастающая экспонента, и весь процесс будет расходящимся.

2. Если характеристическое уравнение имеет пару мнимых сопряженных корней li = jw и li+1 = -jw, а остальные корни вещественные и отрицательные, то в этом случаев решении n-2 слагаемых - затухающие экспоненты вида , пара мнимых корней соответствуют два слагаемых и . Пользуясь формулой Эйлера, напишем следующие равенства:

Следовательно,

Можно показать, сто Ci и Ci+1 - комплексно сопряженные числа, поэтому Ci + Ci+1 = A и j(Ci- Ci+1)=B являются вещественными числами.

Тогда где решение однородного дифференциального уравнения будет иметь вид - незатухающие и нерасходящиеся гармонические колебания.