U

При n=2 вектор бесконечно большой длины поворачивается по часовой стрелке на угол 2p.

Так же как и при n=1, здесь можно получить условную устойчивость, колебательную границу устойчивости и неустойчивость.

Из рис. 1 следует, что абсолютная устойчивость может быть получена при n£2. При n³3 - только условная устойчивость.

АБСОЛЮТНО-УСТОЙЧИВОЙ называют систему, которая сохраняет устойчивость при любом уменьшении коэффициента усиления разомкнутой цепи, иначе система УСЛОВНО-УСТОЙЧИВАЯ.

Изложенный выше прием используют и при мнимых корнях.

Для анализа устойчивости системы АФХ дополняют окружностью бесконечно большого радиуса при w®0 против часовой стрелки до положительной вещественной полуоси, а в случае чисто мнимых корней - полуокружностью по часовой стрелке в точке разрыва непрерывности АФХ.

Формулировка критерия №2

Если разомкнутая цепь системы имеет нулевые и чисто мнимые полюсы, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы с ее дополнением в бесконечности не охватывала точку (-1, j0).

3. Система с неустойчивой разомкнутой цепью.

Более общий случай - знаменатель передаточной функции разомкнутой системы с любой степенью астатизма содержит корни, лежащие в правой полуплоскости. Появление неустойчивости разомкнутой системы вызывается двумя причинами:

1. следствием наличия неустойчивых звеньев;

2. следствием потери устойчивости звеньев, охваченных положительной или отрицательной обратными связями.

Следует заметить, что, хотя теоретически вся система в замкнутом состоянии может быть устойчивой при наличии неустойчивости по цепи местной обратной связи, практически такой случай является нежелательным и его надо избегать, стремясь использовать только устойчивые местные обратные связи. Это объясняется наличием некоторых нежелательных свойств, в частности появлением условной устойчивости, которая как имеющихся обычно в системе нелинейностях может в некоторых режимах привести к потере устойчивости и появлению автоколебаний. Поэтому, как правило при расчете системы выбирают такие местные обратные связи, которые были бы устойчивыми при разомкнутой главной обратной связи.

Пусть характеристический многочлен D(p) разомкнутой системы имеет m корней с положительной вещественной частью.

Тогда

Вспомогательная функция при замене p®jw согласно принципа аргумента для устойчивых замкнутых систем должна иметь следующее изменение аргумента при

Формулировка критерия №3

Для устойчивости замкнутой системы требуется, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой цепи (с дополнением в бесконечности для нейтральных систем) охватывала точку (-1, j0) против часовой стрелки на угол mp, где m - число полюсов с положительной вещественной частью в передаточной функции неустойчивой разомкнутой цепи системы.

Пример АФХ устойчивых систем число переходов левее (-1, j0) равно m/2.

Формулировка Я.З. Цыпкина.

Замкнутая система устойчива, если при изменении w от нуля в сторону положительных значений до ¥ разность числа положительных и отрицательных переходов АФХ разомкнутой системы через отрезок (-¥, -1) равна m/2.

Критерий Найквиста для ЛЧХ.

Для того чтобы замкнутая система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы при всех значениях w, где L(w)>0, разность числа положительных и отрицательных переходов фазовой характеристики разомкнутой системы через линии ±(2k+1)p (k=0,1,2,…) равнялось m/2, где m - число полюсов с положительной вещественной частью в передаточной функции разомкнутой цепи системы.

Примечание: фазовая характеристика ЛЧХ астатических систем дополняется монотонным участком +np/2 при w®0.

Пример 1. Здесь m=0 Þ система устойчива, но при уменьшении k система может быть неустойчива, поэтому такие системы называются условно-устойчивыми.

Пример 2. Здесь При любых k система неустойчива. Такие системы называются структурно-неустойчивыми.

Пример 3. АФХ охватывает точку с координатами (-1, j0) 1/2 раза, следовательно замкнутая система устойчива.

Пример 4. при w®0 АФХ имеет разрыв, и поэтому ее нужно дополнить дугой бесконечно большого радиуса от отрицательной вещественной полуоси. На участке от -1 до ¥ имеется один положительный переход и полтора отрицательных. Разность между положительными и отрицательными переходами равна -1/2, а для устойчивости замкнутой системы требуется +1/2, так как характеристический полином разомкнутой системы имеет один положительный корень - система неустойчива

Анализ устойчивости многоконтурных систем.