- при решении задач, выводе формул или установлении каких-либо математических фактов;

- для установления межпредметных связей;

- для опровержения утверждений и др.

Использование измерений при изучении нового материала.

Например, при изучении площадей треугольника по формуле

.

Ученикам могут быть розданы различные вырезанные из бумаги треугольники с отмеченными на них высотами (рис. 29).

Рис. 29

Учащиеся измеряют длины сторон а и b и длины высот, проведенных к стороне a, а также угол g. И вычисляют площадь треугольника по уже известной формуле.

Для удобства заносят результаты измерений в таблицу:

Таблица 3

После нескольких таких измерений, учащиеся могут догадаться, что . Таким образом, сформулировать гипотезу. Ученики при этом пользовались непосредственными и косвенными измерениями.

При изучении, например, теоремы о площади треугольника, вычисляемой по формуле: , могут быть использованы измерения с помощью информационных технологий (рис. 30).

Рис. 30

Ученикам можно показать, что пока длина высоты и стороны, к которой проведена эта высота, не изменятся, площадь треугольника также не изменится (рис. 31).

Рис. 31

Таким образом, учащиеся могут сделать вывод о том, что площадь треугольника зависит от стороны треугольника и высоты, проведенной к этой стороне. После некоторых исследований, учащиеся также смогут сделать вывод, что площадь треугольника вычисляется по формуле: .

Таким образом, измерения могут быть средством обнаружения каких-то математических фактов.

Помимо этого, измерения могут быть использованы для проверки достоверности или опровержения какого-то высказывания.

Например, в треугольнике сумма двух его сторон меньше третьей стороны.

Итак, учащиеся могут проверить правильность этого высказывания путем измерения сторон произвольного треугольника. Затем сделать вывод о недостоверности этого высказывания.

Или учитель предлагает ученикам выяснить верно, ли высказывание о том, что в любом треугольнике сумма двух его сторон больше третьей его стороны. Учащиеся, начертив каждый свой треугольник в тетради, убеждаются в том, что неравенство выполняется. После чего уже ищут доказательство этого утверждения.

Рассмотрим другой пример: пусть ученикам уже известно, что внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла этого треугольника, не смежного с ним. Для уточнения знаний о соотношении между величиной любого внешнего угла и величиной суммы внутренних углов треугольника, не смежных с ним, учащимся может быть предложено начертить произвольный треугольник АВС, построить три внешних угла и обозначить внутренние и внешние углы цифрами.

Затем убедиться в том, что внешний угол треугольника действительно равен сумме внутренних углов этого треугольника, несмежного с ним. После этого доказать соответствующую теорему.

Измерения могут быть использованы и для решения каких-либо задач.

Рассмотрим следующую задачу:

По данным катетам a и b прямоугольного треугольника найдите высоту, проведенную к гипотенузе: а = 5см, b = 12см.

Эту задачу можно решить с применением косвенных измерений площади треугольника, то есть, используя известную формулу: , и вычислив при этом гипотенузу прямоугольного треугольника. Также можно построить такой треугольник, и измерить необходимый отрезок. Таким образом, также пользуясь измерениями.

При этом все задачи, решаемые с использованием измерений можно разделить на две группы: задачи на местности, то есть для которых не составлена математическая модель для их решения и задачи, которые являются математической моделью некоторой реальной ситуации.

Итак, направления применения измерений в курсе геометрии, рассмотренные нами:

- использование измерений для обнаружения математических фактов;

- измерения для доказательства теорем или опровержения утверждений;

- использование измерений при решении задач;

- для установления межпредметных связей и др.

Таким образом, мы можем сделать вывод не только о практической значимости измерений, но и ценности их во всей геометрии.

Глава 2. Измерения геометрических величин в курсе геометрии 7 – 9 классов

§1. Примеры использования измерений в обучении геометрии

Мы рассмотрели различные направления использования измерений в курсе геометрии. Теперь приведем примеры использования измерений при изучении различных тем курса, при достижении различных дидактических целей.

1.1 Использование измерений при введении новой темы

Ученикам предлагается для изучения новая теорема или какой-либо математический факт. Важно, чтобы школьник усвоил и формулировку и все пункты доказательства, чтобы он был убежден в справедливости доказываемого утверждения, также важно, чтобы ученик понимал, для чего служит эта теорема. Использование измерений помогает добиться этого понимания. Также ученик в результате ряда измерений может самостоятельно прийти к формулировке гипотезы. При введении новой темы могут быть применены как непосредственные так и косвенные измерения. Они могут служить средством обнаружения математических фактов, средством для доказательства теоремы или опровержения утверждений.

Рассмотрим способ применения измерений при введении теоремы о сумме углов треугольника. Важно, чтобы ученики понимали, что сумма углов произвольного треугольника постоянна. И для того, чтобы они убедились в этом, им нужно самим измерить углы различных треугольников и найти их сумму. Таким образом, на уроке используются непосредственные измерения.

1.1.1 Сумма углов треугольника

Тема: «Сумма углов треугольника»