2. Роль математики, в формировании и развитии интеллектуальных качеств личности

обучение параметр математика задача

Особенности развития высших психических функций в среднем и старшем школьных возрастах, описанные в п. 1 - потенциально возможный уровень, т. е. верхняя планка (как правило) в развитии интеллектуальных процессов. Достижению этого уровня способствует изучение учеником гуманитарных и естественно-математических дисциплин. Роль математики в этом процессе исключительно велика. Психологическая наука давно пришла к выводу, что лучше всего формировать и развивать мышление в ходе решения задач. В обучении математике они являются и целью, и средством обучения и математического развития школьников. В частности, это относится и к задачам с параметрами.

Задача с параметром представляет собой целую серию однотипных задач, соответствующих всевозможным числовым значениям параметра. Добавление параметра значительно усложняет задачу, т.к. увеличивается ее размерность, появляется «глубина». Решение такой задачи требует системного подхода, целостного представления ситуации. Для решения уравнений (неравенств) с параметрами необходимо умение проводить разветвленные логические построения. При этом необходимо четко и последовательно следить за сохранением равносильности решаемых уравнений (неравенств), учитывая области определения выражений в них входящих. Использование стандартных методов при решении задач с параметрами иногда приводит к неоходимости выполнения очень громоздких вычислений, что существенно затрудняет решение. Такая ситуация, как правило, способствует началу творческих поисков других путей решений, их исследования, направленное на нахождение наиболее рационального, наиболее «красивого» способа решения. Под исследованием в науке понимается изучение какого-либо объекта с целью выявления закономерностей его возникновения, развития, преобразования. В процессе исследования синтезируются имеющиеся знания, накопленный опыт, а также методы и способы изучения объектов.

Из вышесказанного можно сделать вывод, что решение задач с параметрами развивает системное, логическое мышление. Являясь прекрасным материалом для исследовательской работы, решение уравнений (неравенств) с параметрами развивает таке умения как наблюдение, сравнение, обобщение и др.; учит творчески мыслить, способствует развитию гибкости мыслительного процесса и, что очень важно, развивает теоретическое мышление.

Глава ||. Содержание «линии задач с параметрами» в программе математики средней школы (7-9 классы) на примере учебников А.Г. Мордковича

Несмотря на то, что программа по математике средней общеобразовательной школы не упоминает в явном виде о задачах с параметрами, было бы ошибкой утверждать, что вопрос о решении задач с параметрами никоим образом не затрагивается в рамках школьного курса математики. Достаточно вспомнить школьные уравнения: ax2+bx+c=0, y=kx, y=kx+b, tgx=a, в которых a, b, c, k не что иное, что такое параметр, в чем его отличие от неизвестного.

Рассмотрим понятие параметра.

1. Понятие параметра

Параметр (от греческого слова parametron - отмеривающий) - величина, значение которой служат для различения некоторого множества между собой.

Под задачами с параметрами понимают задаси, в которых технический и логический ход решения и форма результата зависят от входящих в условие величин, численные значения которых не заданы конкретно, но должны считаться известными. Изучению задач с параметрами в школе отводится незначительное место, хотя неявно с этим понятием учащиеся сталкиваются, например, при изучении функции y=kx, для этой функции в качестве параметра выступает коэффициент k прямой пропорциональности.

В математике параметры вводятся для обозначения некоторого класса объектов, обладающих общими свойствами. Например, y=log2x с параметром a определяет класс логарифмических функций. Множеству значений a > 1 соответствуют частные логарифмические функции, обладающие одинаковыми свойствами. Множеству значений 0 < a < 1 так же соответствую обладающие общими свойствами частные логарифмические функции, но уже другого рода. На каждом из этих множеств можно рассматривать параметр как постоянную величину, а при переходе значений параметра из одного множества в другое - как переменную величину.

Если параметру, содержащемуся в уравнении (неравенстве) придать некоторое числовое значение, то возможен один из двух случаев:

1) получится уравнение (неравенство), содержащее лишь данные числа и неизвестные, и не содержащие параметров;

2)получится условие, лишенное смысла.

В первом случае значение параметра называют допустимым, во втором - недопустимым. При решении задач допустимые значения параметров определяются из конкретного смысла. Например, для a < 0 значение выражения logax для любого x не определено.

Рассмотрим методическую концепцию подхода к изучению темы «Уравнения с параметром». Итак, что такое уравнение с параметром? Пусть дано уравнение

F(x,a) = 0(1)

Если ставится задача: отыскать такие пары (x,a), которые удовлетворяют данному уравнению, то уравнение (1) - это уравнение с двумя переменными x и a. Однако относительно уравнения (1) можно поставить другую задачу: если придать переменной a какие либо фиксированное значение, то уравнение (1) можно рассматривать как уравнение с олной переменной x. Решения этого уравнения определяются выбранным значением a.

Если ставиться задача для каждого значения а из некоторого числового множества А решить уравнение (1) относительно x, то уравнение (1) называют уравнение с переменной x и параметром а, а множество А - областью изменения параметра.

Уравнение (1) - это, по существу, краткая запись семейства уравнений. Уравнения этого семейства получаются из уравнения (1) при различных конкретных значениях параметра а.

Так, уравнение 2а(а-1)x=a-2, у которого область изменения параметра а является множество А={-1;0;1;2;3}, есть краткая запись следующего семейства уравнений:

Под область изменения параметра обычно подразумевают (если не сделано специальных оговорок) множество всех действительных чисел, а задачу решения с уравнения с параметром формулируют следующим образом: решить уравнение (1) (с переменной x и параметром а) - это значит на множестве действительных чисел решить семейство уравнений, получающихся из уравнения (1) при любых действительных значениях параметра.

Ясно, что выписать каждое слово из бесконечного семейства уравнений невозможно. Тем не менее, каждое уравнение семейства должно быть решено. Сделать это можно, если, например, по некоторому целесообразному признаку разбить множество всех значений параметра на подмножества и решить затем заданное уравнение на каждом из этих подмножеств. Для разбиения множества значений параметра на подимножества удобно воспользоваться теми значениями параметра, при которых при переходе через которые происходят качественные изменения уравнения (например, квадратное уравнение ax2-7x+15=0 при a=0 становится линейным уравнением). Такие значения параметра будем называть контрольными.