Задания на темы: Квадратные уравнения с параметром, уравнение с параметром и модулем, иррациональное уравнение с параметром были рассмотрены и решены выше (см. тему «Подбор задач с параметрами по уравнениям и неравенствам для классов с углубленным изучением математики на основе учебника А.Г. Мордковича «Алгебра 8»»)

Задачи, связанные с графиками функций. (Учебник А.Г. Мордковича)

№ 483. Найдите значение коэффициента с, если известно, что график функции y = x2 + 4x + c пересекает ось ординат в точке А(0; 2).

№ 500. При каких значениях коэффициента b и c точка А (1; -2) является вершиной параболы y = x2 + bx + c?

Задачи, в которых параметр является левой частью уравнения. (Учебник А.Г. Мордковича)

№ 518. При каком значении p уравнение x2 - 2x + 1 = p имеет один корень?

№ 522. При каких значениях p уравнение x2 + 6x + 8 = p:

а) не имеет корней;

б) имеет один корень;

в) имеет два корня?

Задания, приводящие к формированию умения отыскания множества допустимых значений параметра. (Учебник А.Г. Мордковича)

№ 543. При каких значениях а имеет смысл выражение:

а) ; б) ;в) ;г) ?

№ 793. При каких значениях параметра p уравнение

(2p - 3) x2 + (3p - 6)x + p2 - 9 = 0 является:

а) приведенным квадратным уравнением;

б) неполным неприведенным квадратным уравнением;

в) неполным приведенным квадратным уравнением;

г) линейным уравнением?

Решение квадратных уравнений с параметром с вычислением дискриминанта. (Учебник А.Г. Мордковича)

№ 838. Из данных уравнений укажите те, которые имеют два различных корня при любом значении параметра p:

а) x2 +px = 0;в) x2 +px + 5 = 0;

б) x2 - px - 5 = 0;д) px2 - 2 = 0.

№ 842. Докажите, что не существует такого значения параметра p, при котором уравнение x2 - px + p - 2 = 0 имело бы только один корень.

№ 953. Решите уравнение:

а) x2 - 2(a - 1)x + a2 -2a - 3 = 0;

в) x2 + 2(a + 1)x+ a2 + 2a - 8 = 0.

№ 337. (Учебник С.М. Никольского)

Известно, что x1 - корень уравнения. Определите второй корень уравнения и коэффициент a.

2x2 + 16x + a = 0, x1 = 3.

Использование теоремы Виета. (Учебник А.Г. Мордковича)

№ 791. При каких значениях параметра p сумма корней квадратного уравнения x2 + (p2 + 4p - 5)x - p = 0 равны нулю?

№ 1000. Дано уравнение x2 - (p + 1)x + (2p2 - 9p -12) = 0. Известно, что произведение его корней равно -21. Найдите значение параметра p.

№ 1360. При каких значениях параметра p квадратное уравнение

3x2 - 2px - p + 6 = 0:

а) имеет два различных корня;

б) имеет один корень;

в) не имеет корней?

Неравенство с параметрами.

№ 1366. При каких целочисленных значениях параметра p неравенство

(x - 2)(x - p) < 0 имеет три целочисленных решения?

В материале 8 класса можно отдать предпочтение квадратным уравнениям с параметрам, которые решаются с помощью теоремы Виета, и заданиям, в которых задан один из корней уравнения и необходимо найти второй корень и какой - либо неизвестный коэффициент.

9 класс

В 9 классе следует обобщить и систематизировать навыки решения уравнений и систем уравнений с параметрами, и освоить решение неравенств с параметрами.

1. Сначала можно рассмотреть задания, связанные с нахождением области определения функций, являющиеся подготовкой к работе с параметрами. Подобные задания можно взять из учебника под редакцией С.А. Теляковского. Например,

№ 11. Какова область определения функции, заданной формулой

Следующую группу заданий должны составить неравенства с параметрами, наиболее хорошо подобранные в учебнике С.М. Никольского.

2.Неравенства с дискриминантом, равным нулю.

№ 97. найдите все значения k, при каждом из которых верно неравенство:

а) x2 - 24x + k > 0 верно при всез х, кроме х = 12,

б) 64x2 + kx + 9 > 0 верно при всех х, кроме х = -3/8.

3. Неравенства второй степени с отрицательным дискриминантом.

№ 105. Укажите все значения m, при каждом из которых неравенство верно при любом значении х:

а) 2x2 - x + m > 0; б) 3x2 + 2x + m > 0.

Так как у обоих неравенств a > 0 (2 > 0 и 3 > 0), то необходимо найти D и решить неравенство D < 0 относительно m.

а) D = 1 - 8mб) D = 4 - 12m

D < 0 D < 0

1 - 8m < 0 4 - 12m < 0

m > 1/8 m > 1/3

Ответ: при всех m > 1/8 (m > 1/3) неравенство «а» («б») верно при любых значениях х.

№ 222. Решите неравенство, считая, что а - данное число:

а) ах > 0,б) ax > 1,в) ax + 1 > 3,

г) ax - 8 < 11,д) ax > x,е) ax + 1 > x.

№230*. Найдите все значения t, при которых уравнение имеет два различных корня.

а) x2 - 6x + t =0; б) (t + 3)x2 + 2(t - 1)x + t = 0.

№ 231. Найдите все значения t, при которых уравнение не имеет действительных корней:

а) x2 + 4x + 6t = 0, б) tx2 - 2(t - 2)x + t = 0.

№239. (Повышенной трудности) При каких значениях t уравнение

x2 - 2tx + t2 - 1 = 0 имеет два действительных корня:

а) отрицательных; б) положительных; в) разных знаков, причем отрицательный корень имеет большую абсолютную величину?

4. Далее, в 9 классе желательно рассмотреть один - два примера уравнения с параметром и модулем.

Например, решить уравнение при всех значениях параметра а.

|x + 3| - a|x - 1| = 4.

Ответ:

a ∈ (-1; 1) ⇒x1 = 1, x2= (a + 7)/(a - 1);

a = 1 ⇒x1 ≥ 1;

a > 1 ⇒x = 1.

Приложение. Список задач с параметрами, рекомендуемых для проведения дополнительных занятий по данной теме

Ниже предлагаются задачи с параметрами разного уровня сложности, для слабых и сильных учеников. Задачи с повышенной сложностью будут отмечены значком *.

Линейные уравнения

1. Решить уравнение при всех значениях параметра.

c - 2 = x + 2 (Какое значение будет иметь корень уравнения при ?

Ответ: х = с - 4,

⇒ .

2. Решить уравнение при всех значениях параметра.

x + 4 = a - 3 (Выяснить, при каких значениях параметра а корень уравнения равен -7)

Ответ: х = а - 7, х ≠ -7 ⇒ а ≠ 0.

3. Решить уравнение при всех значениях параметра.

b - 8 + 2x = 2b (Выяснить, при каких значениях параметра корень уравнения не равен 4,5)

Ответ:

4. При каких значениях параметра а уравнение (а2 - 6а + 5) = а - 1 имеет

1) один корень;

2) ни одного корня;

3) бесконечно много корней?

Ответ: 1) а ≠ 1; а ≠ 5;

2) а = 5;

3) а = 1.

Решить уравнения при всех значениях параметра (№5 - 11).

5. (2 - х)а = х + 1.

Ответ: а ≠ -1 ⇒ x = (2a - 1)/(1+a).

6. (а2 - 1)х = а + 1.

Ответ: а ≠ 1 ⇒ х = 1/(а - 1).

7.

Ответ: если а = 1 ⇒ ∅;

если а ≠ 1 ⇒ х = а.

8.

Ответ: если а = -2 ⇒ ∅;

если а ≠ -2 ⇒ x = 2.

9.

Ответ: а ≠ -2 ⇒ х = (а + 8)/3.