Все сказанное выше применимо и для решения неравенств с параметрами.

Опыт показывает, что задачи с параметрами являются наиболее сложным в логическом и техническом планах разделом элементарной математики, хотя с формальной точки зрения математическое содержание таких задач не выходит за пределы программы. Все зависит от того, как понимается параметр. С одной стороны, параметр можно рассматривать как переменную, которая при решении уравнений и неравенств считается постоянной величиной, с другой - параметр это величина, численное значение которой не задано, но должно считаться известным, причем параметр может принимать произвольные значения, т.е. параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность параметра позволяет обращаться с ним как с числом, а во-вторых, степень свободы обращения с параметром ограничивается его неизвестностью.

В каждом из описаний природы параметров имеется неопределенность - на каких этапах решения параметр можно рассматривать как константу и когда он играет роль переменной величины. Все эти противоречивые характеристики параметра могут в самом начале изучения вызвать у учащихся определенные психологические трудности.

В связи с этим на начальном пути знакомства с параметром очень полезно как можно чаще прибегать к наглядно-графической интерпретации полученных результатов. Это не только позволяет преодолеть естественную неуверенность ученика перед параметром, но и дает учителю возможность параллельно, в качестве пропедевтики, приучать учеников при решении задач с параметрами использовать графические приемы доказательства.

Не следует также забывать, что использование хотя бы схематических графических иллюстраций в некоторых случаях помогает определить направления исследований а иногда и позволяет сразу подобрать ключ к решению задачи. Ведь для определенных типов задач даже примитивный рисунок, далекий от настоящего графика, дает возможность избежать различного рода ошибок и более простым способом получить ответ в уравнении или неравенстве. Решение математических задач вообще является наиболее трудной частью деятельности школьника при изучении математики и объясняется это тем, что для решения задач требуется достаточно высокий уровень развития интеллекта высшего уровня, т.е. теоретического, формального и рефлексивного мышления, а такое мышление, как уже отмечалось, еще только развивается в подростковом возрасте.

Вместе с тем трудно переоценить роль задач с параметрами в развитии у школьников пространственных представлений. Они по своей постановке и методам решения не только лучшим образом стимулируют накопление конкретных геометрических представлений, но и развивают способность представлять изображение графика той или иной функции и, более того, уметь мысленно оперировать элементами этого графика. Задачи с параметрами способствуют пониманию учащимися происхождения различных геометрических фигур и графиков функций, возможности их преобразования - все это является важной предпосылкой развития пространственного мышления школьников. Кроме того, эти задачи хорошо развивают логическое мышление, геометрическую интуицию. В процессе решения задач с параметрами учитель может эффективно формировать элементы алгоритмической культуры.

Главная особенность задач с параметрами - ветвления решения в зависимости от значений параметров. Другими словами, процесс решения осуществляется классификаций частных уравнений (неравенств) по типам с последующим поиском решений каждого типа.

Одновременно решение бесконечной совокупности частных уравнений и неравенств с учетом требования равносильности преобразований возможно лишь при развитии достаточного уровня логического мышления. С другой стороны, формирование методов решения уравнений и неравенств с параметрами обеспечивает значительный процесс в развитии математической культуры учащихся. Развивающий характер уравнений и неравенств с параметрами определяется их способностью реализовывать многие виды мыслительной деятельности учащихся:

1. Выработка определенных алгоритмов мышления.

2. Умение определить наличие и количество корней в уравнении.

3. Решение семейств уравнений, являющихся следствием данного.

4. Выражение одной переменной через другую.

5. Нахождение области определения уравнения.

6. Повторение большого объема формул при решении.

7. Значение соответствующих методов решения.

8. Широкое применение словесной и графической аргументации.

9. Развитие графической культуры учащихся.

Все вышесказанное позволяет говорить о необходимости изучения решений задач с параметрами.

2. Тематический анализ учебников А.Г. Мордковича «Алгебра. Задачник 7,8,9»

7 класс

Учебник для 7 класса начинается с темы «Числовые и алгебраические выражения», которая содержит следующие задания №33-№35:

При каких значениях переменной имеют смысл выражения:

; ; .

Следующим заданием с параметрами можно называть упражнения из главы «Линейные уравнения с двумя переменными» (№827 - 831), например,

№ 828. Найдите значение коэффициента а в уравнении

ax + 5y - 40 = 0, если известно, что решением уравнения является пара чисел:

а) (3;2);б) (9;-1);в) (1/3; 0);г) (-2; 2,4).

В этой же главе присутствуют задания, в которых требуется выразить одну переменную через другую (№825, №826), эти задания, как уже говорилось выше, являются своего рода задачами с параметрами.

№ 825. Дано линейное уравнение с двумя переменными. Используя его, выразите каждую из переменных через другую:

а) 3a + 8b = 24;б) 12m - 3n = 48.

Параграф «Линейная функция и ее график» также содержит задания с параметрами, например,

№ 902. Найдите значение m, если известно, что график линейной функции

y = -5x + m проходит через точку:

а) N(1;2);б) K(0,5; 4);в) M(-7;8);г)P(1,2;-3).

№907. Как расположен в координатной плоскости xOy график линейной функции

y = kx + m, если известно, что:

а) k > 0, m = 0;б) k < 0, m = 0?

В данном случае приведены несколько заданий с параметрами в главе «Системы двух линейных уравнений с двумя переменными», например задания:

№ 1075. Найдите значение коэффициента а в уравнении ax + 8y = 20, если известно, что решением этого уравнения является пара чисел:

а) (2;1);б) (-3;-2).

№ 1076. Дана система уравнений ,

Известно, что пара чисел (5;6) является ее решением. Найдите значения a и b.

8 класс

В учебнике для 8 класса по теме «квадратичная функция», помещены сравнительно простые задания № 483 - № 488, связанные с графиком квадратичной функции. Например:

№ 483. Найдите значение коэффициента с, если известно, что график функции y=x2+4x+c пересекает ось ординат в точке А(0;2).

Далее следует более сложные задания с похожим содержанием (№ 498 - № 503). Например:

№ 500. При каких значениях коэффициента b и c точка А(1;-2) является вершиной параболы y=x2+bx+c?

После данной темы рассмтривается графическое решение квадратного уравнения, и даются упражнения, где параметр является правой частью уравнения (№ 518 - № 522). Например: