Как видно, в учебнике для углубленного изучения математики делается больше ссылок на использование теоремы Виета. Кроме того, в нем переходят к более употребительной для обозначения параметров букве а, в то время как в учебнике для общеобразовательных классов используют букву p.

Затем в рассматриваемом учебнике дается более точное определение понятие параметра, чем в учебнике для общеобразовательных классов, а именно: если дано уравнение f(x,a) = 0, которое надо решить относительно переменной x и в котором буквой обозначено произвольное действительное число, то говорят, что задано уравнение с параметром. Основная трудность, связанная с решением таких уравнений, состоит в следующем. При одних значениях параметра уравнение не имеет корней, при других - имеет; при одних значениях параметра корни находятся по одним формулам, при иных - по другим. Например, при решении примера 2 при p = 0 уравнение решалось как линейное (по одной формуле), а при p ≠ 0 - как квадратное (по другой формуле).

Далее демонстрируется решение линейного уравнения с подобными рассуждениями.

Пример 3. Решить уравнение с параметром а: 2a(a - 2)x = a - 2.

Решение. Обычно корень уравнения bx = c мы легко находим по формуле x = c/b, так как в конкретном уравнении коэффициент b отличен от нуля. В заданном уравнении коэффициент при x равен 2a(a - 1), и, поскольку значение параметра а нам неизвестно и в принципе оно может быть любым, следует предусмотреть возможность обращения указанного коэффициента в нуль. Это будет при а = 0 или при а = 2. Рассмотрим следующие случаи:

1) Если а = 0, то уравнение принимает вид 0х = 2 - это уравнение не имеет корней.

2) Если а = 2, то уравнение принимает вид 0х = 0 - этому уравнению удовлетворяют любые значения х.

3) Если а ≠ 0, а ≠ 2, то коэффициент при х отличен от нуля, и следовательно, на этот коэффициент можно разделить обе части уравнения.

Получим

Ответ: 1) если а = 0, то корней нет;

2) если а = 2, то х - любое действительное число;

3) если а ≠ 0, а ≠ 2, то х = 1/2а.

Затем в учебнике рассматривается линейное уравнение с модулем, содержащим параметр, и иррациональное уравнение:

Пример 4: Сколько корней имеет уравнение 2|x - a| = x + 1 при различных значениях параметра а?

Пример 5: Решить уравнение .

Таким образом, в учебнике для 8 класса с углубленным изучением математики задачам с параметрами отводится отдельный параграф, в котором рассматривается широкий класс уравнений с параметрами, а именно линейные и квадратные уравнения, иррациональные уравнения и уравнения, содержащие модуль. Понятие параметра вводится на основе решения примеров. Важно, что в решении уравнений с параметрами дается графическая иллюстрация решения.[19]

4. Разбивка задач с параметрами по темам в действующих учебниках для средней школы

Исходя из возрастных особенностей учащихся, все задания с параметрами в 7 классе носят пропедевтический характер. Должны встречаться задания с параметрами на решение линейных уравнений, систем линейных уравнений, на выражение одной переменной через другую (в уравнениях с двумя переменными). Учащиеся на этом этапе еще не знакомы с понятием параметра, но в учебниках обязательно должно быть помещено примечание о том, что более подробно такие задания будут рассмотрены в 8 классе.

В 7 классе следует остановиться на заданиях, приведенных ниже.

1. Уравнения с одной переменой. (Учебник под редакцией С.А. Теляковского).

№ 236*. При каких значениях коэффициента m уравнение mx = 5 имеет единственный корень? Существует ли такое значение m, при котором это уравнение не имеет корней; имеет бесконечно много корней?

№ 237*. При каких значениях коэффициента p уравнение px = 10 имеет корень, равный -5; 1; 20?

2. Задания с использованием формул сокращенного умножения «Разность квадратов и сумма и разность».

№ 1073*. При каком значении а многочлен стандартного вида, тождественно равный произведению (x2 - 10x + 6)(x - a), не содержит:

а) x2;б) x?

3. Линейные уравнения с двумя переменными.

№ 982. (Учебник С.М. Никольского)

Число k ≠ 0. Решите уравнение. а) kx - 10 = 0; б) kx + a = 0.

№ 1024(ж).

Выразите x через y в уравнении 2y - 0,3x - 1 = 0.

№ 1106. (Учебник под редакцией С.А. Теляковского).

Найдите значение коэффициента а в уравнении ax + 2y = 8, если известно, что пара x = 2, y = 1 является решением этого уравнения.

Решение.

ax + 2y = 8

Подставим x = 2, y = 1, тогда получим:

2a + 2 = 8

2a = 8

a = 4.

Ответ: при a = 4 пара х = 2, у = 1 является решением данного уравнения.

№ 1100. (Учебник под редакцией С.А. Теляковского).

Из уравнения 2u + v = 4 выразите: а) переменную v через u; б) переменную u через v.

4. Область определения выражения.

№ 728 (Учебник С.М. Никльского)

При каких значениях букв определено выражение

Это фактически задание на определение множества значений параметра.

5. Системы линейных уравнений.

№ 1067 (Учебник С.М. Никльского) При каком а равносильны системы уравнений:

№ 1076 (Учебник С.М. Никльского). Дана система уравнений

Известно, что пара чисел (5 ; 6) является ее решением. Найдите значения a и b.

6. Задания на решение уравнений относительно x.

№ 213*. (Учебник С.М. Никльского)

Считая а и b данными числами, решите уравнение относительно x;

б) 3x + a = 4x - 2b + 3a,

е) 5(x - b) = 2(a - x),

ж) a - a(a + b)x = (2 - a)x - (3 + bx),

д) 2(x + a) = 3(x - a),

Решение:

x + a = 1,5(x - a)

x + a - 1,5 x + 1,5a = 0

-0,5x + 2,5a = 0

x = 5a

Ответ: x = 5a.

№ 1147*. Решите уравнение, считая, что a,b - данные числа, а х - неизвестное.

е) 3a2b - 6abx = ab,з) 7 - ax = 3b.

7. Задания, связанные с графиками функций. (Учебник А.Г.Модковича)

№ 902. Найдите значение m, если известно, что график линейной функции y = -5x + m проходит через точку:

а) N (1; 2) б) K(0,5; 4); в) M(-7; 8); г) P (1,2; -3).

№ 907. Как расположены в координатной плоскости хОу график линейной функции y = kx + m, если известно, что:

а) k > 0, m = 0;б) k < 0, m = 0?

Заметим, что наиболее подходящие задания для 7 класса можно взять из учебников Теляковского С.А. (Уравнения с одной и двумя переменными), Никольского С.М. (системы уравнений) и Мордковича А.Г. (Графики функций и задачи с параметрами).

8 класс

В 8 классе вводится в рассмотрение научное понятие параметра, даже в общеобразовательных классах. Все задания следует формулировть с использованием этого понятия для достижения наилучшего понимания учащимися сути задач с параметрами. Важно отметить, что подобные задания встречались и раньше, в 7 классе, а теперь такого рода уравнения именуются уравнениями с параметрами.

Хороший сюжет введения, исследования, изучения и применения понятия параметра приведен в учебнике для классов с углубленным изучением математики Мордковича А.Г. «Алгебра 8».