Растущие потребности технического прогресса требовали научной разработки теории преобразований, обеспечивающей точность отображения объектов на плоскость с соблюдением размеров. Возникшая проблема решалась усилиями многих талантливых людей. Большой вклад в дело исследования взаимнооднозначного соответствия на плоскости и в пространстве сделал немецкий геометр Мёбиус (1746-1818). Позже Ф. Клейн (1849-1927) положил различные группы преобразований в основу классификаций различных геометрий: аффинной (группа аффинных преобразований), проективной (группа проективных преобразований) и т. д. Частным случаем аффинного преобразования является преобразование подобия, в котором растяжение или сжатие происходит равномерно, т. е. одинаково вдоль каждой координатной оси.

Одинаковые по форме, но различные по величине фигуры встречаются в вавилонских и египетских памятниках. Учение о подобие фигур на основе теории отношении и пропорции было создано в Древней Греции в 5-6 в. в. до н.э. трудами Гиппократа Хеосского, Архита Тарентского, Евдокса Книдского и др.

Символ обозначающий подобие фигур, есть не что иное, как повёрнутая латинская буква S-первая буква в слове similes, что в переводе означает подобие. Свойства подобия, установленные из опыта, издавна широко использовались при составлении планов, карт, при выполнение архитектурных чертежей различных деталей машин и механизмов.

1.2 Понятие преобразования

Изложение теории геометрических преобразований начнём с общих определений.

Определение. Отображением f множества X в множество Y называется такое соответствие, при котором каждому элементу x множества X соответствует вполне определённый элемент y множества Y.

Oобозначение.f: X Y

Элемент y называется образом элемента x, а элемент x называется прообразом элемента y при отображении f.

y= f(x)

Определение. Отображение f: X Y называется

1) Инъективным (инъекцией), если каждым двум различным элементам множества X соответствуют два различных элемента множества Y.

2) Сюръективным (сюръекцией), если f(X) = Y, т. е. каждый элемент множества Y является образом, по крайней мере, одного элемента множества X.

3) Взаимно – однозначным или биективным (биекцией), если оно является одновременно сюръективным и инъективным.

Определение. Совокупность B всех элементов множества X, образами которых служат элементы множества B', являющегося подмножеством множества Y, называется полным прообразом множества B' при отображении f.

Определение. Если f(X)X, то говорят, что множество X отображается в себя. При f(X) =x говорят, что множество X отображается на себя.

Определение. Отображение f множества X на множество Y называется обратимым (взаимно - обратным), если образы любых двух различных элементов различны. В этом случае существует обратное отображение f-1 множества Y на множество X.

Определение. Отображение множества X на множество Y называется взаимнооднозначным, если каждому элементу множества X ставиться в соответствии один и только один элемент множества Y, и каждый элемент множества Y поставлен в соответствии одному и только одному элементу множества X.

Таким образом, при взаимнооднозначном отображении множества X на множество Y.

1) каждому элементу множества X, ставится в соответствии некоторый элемент множества Y;

2) различным элементам множества X, ставится в соответствии различные элементы множества Y;

3) каждый элемент множества X поставлен в соответствие некоторому элементу множества Y.

Необходимый и достаточный признак преобразования данного множества – одновременное выполнение двух условий:

1) Каждый элемент множества имеет единственный образ в этом множестве;

2) Каждый элемент данного множества имеет единственный прообраз в этом множестве.

Определение. Пусть f и g – два преобразования множества X и для произвольного xX, f(х)=y, g(y)=z, причём yX, zX. Определим отображение , являющееся преобразованием множества X. Преобразование . Называется композицией (произведением) преобразования f и преобразования g. Пишут =gf(=g×f).

(х)=(g×f)(x)=g(f(x))=g(y)=z

Определение. Два преобразования f1и f2 одного итого же множества X называются равными, совпадающими, если для любого xX имеет место f1(x)=f2(x).

Определение. Преобразование e множества X называется тождественным, если для любого xX, имеет место e(x)=x. Поэтому для любого преобразования f множества ef=fe=e.

Определение. При любом преобразовании f объединение множеств отображается на объединение их образов

f (AB)=f(A)f(B).

Определение. При любом преобразовании пересечение множеств отображается на пересечение образов этих множеств

f (AB)=f(A)f(B).

1.3 Группа преобразований множества. Подгруппа группы преобразований

В геометрии приходится производить не одно, а несколько преобразований, следующих друг за другом. Случай, когда рассматривается совокупность преобразований, обладающая тем свойством, что каждую конечную последовательность преобразований этой совокупности можно заменить одним преобразованием той же совокупности, и преобразование, обратное любому из рассматриваемых преобразований, снова принадлежит данной совокупности. Это называется - группа преобразований. Рассмотрение группы преобразований позволяет выделить ряд геометрических свойств. Знание свойств, не меняющихся при преобразованиях той или иной группы, часто позволяет упростить решение конкретных геометрических задач.

Определение. Преобразованием фигуры называется любое биективное отображение фигуры на себя.