Теорема (о группе преобразований). Множество W всех преобразований фигуры есть группа.

Следствие. Множество всех преобразований плоскости является группой преобразований относительно композиции преобразований.

Определение. Подгруппой V группы W называется подмножество V множества W, являющееся группой относительно бинарной операции, определенной в W.

Теорема (о подгруппе). Для того чтобы подмножество V группы W было подгруппой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два условия:

1. Если W, W, то V.

2. Если V, то V

1.4 Преобразование подобия плоскости. Гомотетия плоскости

Определение. Пусть имеются две прямоугольные декартовые системы координат Oij и O/i/j/, при этом |i/|=|j/|=k|i|=k|j|=k (k>0). Тогда преобразование плоскости, которое каждой точки М с координатами (x, y) относительно O/i/j/ ставит в соответствии точку М' с теми же координатами (x, y), но относительно Oij, называется преобразованием подобия плоскости с коэффициентом подобия k.

Из определения следует, что тождественное преобразование и движение являются преобразованиями подобия.

Основное свойство преобразования подобия.

Преобразование подобия плоскости изменяет расстояние между любыми двумя точками плоскости в одном и том же отношении, равном коэффициенту подобия k, т. е. для любых точек М, N и их образов М', N' выполняется равенство |M/N/|=k.

Доказательство. Пусть относительно Oij точки М и N имеют координаты: М(x1, y1), N(x2, y2). Тогда =

Образы М' и N' точек М, N имеют соответственно те же координаты (x1, y1), (x2, y2) относительно системы координат O/i/j/. Найдём:

= =====, так как и .

Свойства преобразования подобия.

Преобразование подобия плоскости всякую прямую отображает в прямую.

Преобразование подобия плоскости отображает полуплоскость с границей в полуплоскость с границей где .

Преобразование подобия плоскости сохраняет простое отношение трёх точек прямой.

Преобразование подобия плоскости сохраняет отношение “лежать между”.

Преобразование подобия плоскости отображает угол в равный ему угол.

Преобразование подобия плоскости отображает отрезок в отрезок, луч в луч.

Преобразование подобия плоскости отображает параллельные прямые в параллельные прямые.

Следствие. Преобразование подобия плоскости отображает параллелограмм в параллелограмм.

Преобразование подобия плоскости отображает вектор в вектор, сумму векторов в сумму векторов и произведение числа на вектор в произведение того же числа на соответствующий вектор.

Теорема. Если преобразование подобия f с коэффициентом подобия k задано двумя системами координат Oij и O/i/j/, при этом и O/(x0,y0), то координаты любой точки M(x,y)Oij и её образа M/(x/,y/)O/i/j/ связаны соотношениями:

где (1)

Доказательство опирается на определение преобразования подобия, на формулы, связывающие координаты одной и той же точки относительно двух прямоугольных декартовых систем координат, на разложение вектора по базисам.

Замечание. При системы координат Oij и O/i/j/ одинаково ориентированы, а при противоположено ориентированы.

Определение. Преобразование подобия плоскости, определяемое формулами (1) называется преобразованием подобия первого рода при и преобразованием подобия второго рода при .

Из основного свойства преобразования подобия и верного утверждения, обратного ему (если преобразование плоскости изменяет расстояние между точками в одном и том же отношении, равном k>0, то оно является преобразованием подобия с коэффициентом подобия k), следует другое определение преобразования подобия. Определение. Преобразованием подобия плоскости с коэффициентом подобия k>0 называется преобразование плоскости, изменяющее расстояние между любыми точками в одном и том же отношении, равном k.

Гомотетия плоскости.

Определение. Гомотетией плоскости с центром гомотетии О и коэффициентом гомотетии называется преобразованием плоскости, которое всякой точке М плоскости ставит в соответствии точку М/ по закону

.

Обозначение. - гомотетия плоскости с центром гомотетии О и коэффициентом гомотетии k.