§4. Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников

Отношение отрезков AB и CD называется отношение их длин при данном выборе единицы измерения; т. е. число . Это число не зависит от выбора единицы измерения [5].

Пусть в треугольниках АВС и А1В1С1 углы соответственно равны: , , . В этом случае стороны АВ и А1В1, ВС и В1С1, СА и С1А1 называются сходственными.

Определение. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

, , , (1)

(2)

Обозначение. АВС~А1В1С1.

Из определения подобных треугольников непосредственно вытекает, что если два треугольника равны, то они подобны; если один треугольник подобен другому, то и второй треугольник подобен первому; если первый треугольник подобен второму, а второй третьему, то первый треугольник подобен третьему треугольнику.

Подобие треугольников можно установить, проверив только некоторые из равенств (1) и (2).

Первый признак подобия треугольников.

Теорема 1.Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Пусть АВС и А1В1С1 два треугольника, у которых , .

По теореме о сумме углов треугольника , поэтому, . Таким образом, углы треугольника АВС соответственно равны углам треугольника А1В1С1. Так как и , то по следствию (Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то отношение площадей этих треугольников равно отношению произведений сторон, заключающих равные углы.).

и .

Из этих равенств получаем: . Аналогично используя равенства , , получим . Итак, сходственные стороны треугольников АВС и А1В1С1 пропорциональны, следовательно, треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников.

Теорема 2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Доказательство. Пусть АВС и А1В1С1 – два треугольника, у которых , . Докажем, что АВС~А1В1С1.

Для этого, учитывая первый признак подобия треугольников, достаточно доказать, что .

От луча АВ в полуплоскость, не содержащую точку С, отложим угол 1, равный углу А1, а от луча ВА в туже полуплоскость отложим угол 2, равный углу В1.

Т. к. , то , поэтому стороны углов 1 и 2, не принадлежащие прямой АВ, пересекаются в некоторой точке С2 (рис. б). Треугольники АВС2 и А1В1С1 подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому . С другой стороны, по условию теоремы . Из этих двух равенств получаем: АС = АС2. Следовательно, треугольники АВС и АВС2 равны по первому признаку равенства треугольников (АВ – общая сторона; АС = АС2,, т. к. и ). Отсюда следует, что , а т. к. , то .

Третий признак подобия треугольников.

Теорема 3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то треугольники подобны.

Доказательство. Пусть АВС и А1В1С1 – два треугольника, стороны которых пропорциональны:

(3)

Докажем, что АВС~А1В1С1. Для этого, учитывая второй признак подобия треугольников, достаточно доказать, что . Аналогично доказательству предыдущей теоремы (рис. б) построим треугольник АВС2 так, чтобы , , . Треугольники АВС2 и А1В1С1 подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому . Сравнивая эти равенства с равенством (3), получаем: ВС=ВС2, СА=С2А. Следовательно, треугольники АВС и АВС2 равны по третьему признаку равенства треугольников. Отсюда следует, , а т. к. , то . Таким образом, АВС~А1В1С1 по второму признаку подобия треугольников.