Определение. Гомотетичными называются фигуры и =.

1) Гомотетичные точки М и М/ лежат на одной прямой с центром гомотетии О.

2) Точки М и М/ лежат по одну сторону от центра О, если k>0, и – по разные стороны, если k<0.

3) М/N/= |k|MN.

4) Гомотетия плоскости является при:

k=1-тождественным преобразованием;

k=-1-центральной симметрией.

Формулы гомотетии с центром в начале координат:

,

Если центр гомотетии имеет координаты S(x0, y0), то формулы гомотетии с центром S имеют вид:

,

Если введем обозначения , то получим формулы

,

Основное свойство гомотетии.

Для любых точек М, N и их образов , имеет место равенство:

.

Доказательство. Воспользуемся равенствами:

, , , и найдём

.

Следствия.

1) Гомотетия с коэффициентом является преобразованием подобия с коэффициентом подобия , так как из основного свойства следует или .

2) , если k>0, и , если k<0.

3) Гомотетия плоскости обладает всеми свойствами преобразования подобия, в частности: прямую отображает в прямую, параллельные прямые - в параллельные прямые, Изменяет все расстояния в одном и том же отношении, сохраняет углы.

Характерные свойства гомотетии.

Гомотетия плоскости имеет одну неподвижную точку – центр гомотетии.

Гомотетия плоскости отображает прямую, проходящую через центр гомотетии, в себя.

Гомотетия плоскости () отображает прямую, в параллельную ей прямую, так не проходящую через центр гомотетии.

Гомотетия плоскости отображает окружность, центр которой совпадает с центром гомотетии, в концентрическую окружность. При этом радиусы окружностей связаны соотношением .

Всякие две неравные окружности гомотетичны друг другу, при этом, если окружности не являются концентрическими, существуют две гомотетии, отображающие одну из них в другую.

Гомотетия плоскости является преобразованием подобия первого рода.

Теорема. Всякое преобразование подобия с коэффициентом подобия k можно представить как композицию гомотетии и движения.

1.5 Группа преобразований подобия и её подгруппы

Теорема 1.Множество всех преобразований подобия плоскости есть группа преобразований, называемая группой подобий.

Доказательство.

Если и - преобразования подобия с коэффициентами и , то - преобразования подобия с коэффициентом . Действительно является преобразованием плоскости. Докажем, что для любых двух точек M и N и их образов , Выполняется равенство . Обозначим и , тогда , . По основному свойству преобразования подобия , . Поэтому и композиция является преобразованием подобия.

Пусть – преобразование подобия плоскости. Так как изменяет всё расстояние в отношение , то обратное к нему преобразование изменяет все расстояния в отношении .

Следовательно, - преобразование подобия с коэффициентом .