Движение в центрально-симметричном поле
Асимптотическое разложение вырожденной гипергеометрической функции позволяет непосредственно получить такое же разложение для волновой функции 
(3,21)
Если нормировать волновые функции «по шкале 
» , то нормировочный коэффициент 
равен
(3,22)
Действительно, асимптотическое выражение при больших 
( первый член разложения (3,21) ) тогда имеет вид
,
(3,23)
в согласии с общим видом нормировочных волновых функций непрерывного спектра в центрально-симметричном поле. Выражение (3,23) отличается от общего вида наличием логарифмического члена в аргументе у синуса; поскольку, однако, 
растет при увеличении медленно по сравнению с самим , то при вычислении нормировочного интеграла, расходящегося на бесконечности, наличие этого члена не существенно.
Модуль Г-функции, входящий в выражение (3,22) для нормировочного множителя, может быть выражен через элементарные функции. Воспользовавшись известными свойствами Г-функций
, 
,
имеем
,
и далее
.
Таким образом,
(3,24)
( при 
произведение заменяется на 1 ).
Предельным переходом 
можно получить радиальную функцию для особого случая равной нулю энергии. При
,
где 
- функция Бесселя. Коэффициенты (3,24) при сводятся к
Отсюда находим
(3,25)
Асимптотический вид этой функции при больших
(3,26)
Множитель 
исчезает при переходе к нормировке «по шкале энергии», т.е. от функции к функции 
; именно функция остается конечной в пределе 
.
В кулоновом поле отталкивания 
имеется только непрерывный спектр положительных собственных значений энергии. Уравнение Шредингера в этом поле может быть формально получено из уравнения для поля притяжения изменением знака у . Поэтому волновые функции стационарных состояний получаются непосредственно из (3,18) посредством этой же замены.
Нормировочный коэффициент снова определяется по асимптотическому выражению и в результате получается
,
. (3,27)
Асимптотическое выражение этой функции при больших имеет вид
,
(3,28)
.
Природа кулонова вырождения.
При классическом движении частицы в кулоновом поле имеет место специфический для этого поля закон сохранения; в случае поля притяжения
(3,29)
В квантовой механике этой величине отвечает оператор
(3,30)
коммутативный, как легко проверить, с гамильтонианом 
.
Прямое вычисление приводит к следующим правилам коммутации для операторов 
друг с другом и с оператором момента:
, 
. (3,31)
Некоммутативность операторов друг с другом означает, что величины 
не могут иметь в квантовой механике одновременно определенных значений. Каждый из этих операторов, скажем 
, коммутативен с такой же компонентой момента 
, но некоммутативен с оператором квадрата
момента 
. Наличие новой сохраняющейся величины, не измеримой одновременно с другими сохраняющимися величинами, , приводит к дополнительному вырождению уровней, - это и есть специфическое для кулонова поля «случайное» вырождение дискретных уровней энергии.
Происхождение этого вырождения можно сформулировать также и в терминах той повышенной симметрии ( по сравнению с симметрией по отношению к пространственным вращениям ), которой обладает кулонова задача в квантовой механике.
Для этого отмечаем, что для состояний дискретного спектра, с фиксированной отрицательной энергией, можно заменить 
в правой стороне соотношения (3,31) на 
и ввести вместо операторы 
. Для них правила коммутации принимают вид
Скачать реферат
