Движение в центрально-симметричном поле
, 
(3,32)
Вместе с правилом 
эти соотношения формально совпадают с правилами коммутации операторов бесконечно малых поворотов в четырехмерном евклидовом пространстве. Это и есть симметрия кулоновой задачи в квантовой механике.
Из соотношений коммутации (3,32) можно снова получить выражение для уровней энергии в кулоновом поле. Перепишем их, введя вместо 
и 
операторы
, 
. (3,33)
Для них имеем
, 
, 
(3,34)
Эти правила формально совпадают с правилами коммутации двух независимых векторов трехмерного импульса. Поэтому собственные значения каждого из квадратов 
и 
равны 
и 
, где 
. С другой стороны, по определению операторов и 
, находим, после простого вычисления:
,
( при вычислении суммы 
снова заменено 
на 
). Отсюда
(где 
) и затем 
.
Обозначив
, 
, (3,35)
приходим к требуемому результату 
. Кратность вырождения уровней равна, как и следовало: 
. Наконец, поскольку 
, то при заданном 
орбитальный момент пробегает значения от 
до 
.
[1] Предполагается, что при малых 
поле таково, что падения частицы не происходит.
Скачать реферат
