в) с вероятностью к прибору обратится одна из заявок с ИПВ, произойдет конфликт, и обе заявки переместятся в ИПВ, следовательно, система в момент времени будет находиться в состоянии ;

г) с вероятностью состояние системы не изменится.

3. Пусть система в момент времени t находится в состоянии . Посмотрим, что произойдет через интервал времени длины (рис. 1.4):

а) с вероятностью к прибору обратится заявка из входящего потока, которая автоматически попадет в ИПВ. В момент времени система будет в состоянии ;

б) с вероятностью интервал оповещения о конфликте завершится, и система перейдет в состояние ;

в) с вероятностью состояние системы не изменится.

Все остальные вероятности переходов не превышают порядка малости .

Рис. 1.2 – Возможные переходы из состояния

Рис. 1.3 – Возможные переходы из состояния

Рис. 1.4 – Возможные переходы из состояния

Таким образом, можно записать систему конечно-разностных уравнений для вероятностей состояний системы:

следовательно, в нестационарном режиме, эти вероятности удовлетворяют системе дифференциально-разностных уравнений

,

, (1.1)

,

где ,

решить которую практически невозможно, но можно решить асимптотически в условиях «большой загрузки», т.е. при , , где пропускная способность исследуемой сети связи (верхняя граница множества тех значений загрузки , для которых в системе существует стационарный режим).

Рассмотрим исходную систему уравнений (1.1) и произведем в ней замену переменных: , , , . В результате замены производится переход от дискретной переменной к непрерывной переменной . В новых обозначениях производная равна .

Тогда систему (1.1) перепишем

,

, (1.2)

Получим вид решения системы (1.2), которую будем решать в три этапа.

1 этап. В уравнениях (1.2) устремим и обозначим , заметим что, . Будем иметь

,

, (1.3)

.

Выразим через и получим

,

, (1.4)

.

где – асимптотическая плотность распределения вероятностей нормированного числа заявок в ИПВ.

Введем обозначения

(1.5)

( - это асимптотическая вероятность того, что обслуживающий прибор находится в состоянии k). Из системы (1.3) следуют равенства, связывающие , , и выглядят так

(1.6)

.