(2.15)

В уравнения (2.15) подставим в форме (2.14), приведем подобные и получим систему неоднородных линейных алгебраических уравнений относительно вида

,

, (2.16)

Нетрудно увидеть, что между уравнениями этой системы есть зависимость и ранг матрицы системы равен, следовательно, чтобы решение уравнений (2.16)существовало, необходимо выполнение равенства

(2.17)

Из однородного линейного уравнения с частными производными первого порядка (2.9) мы знаем, что . Таким образом, можно сделать вывод, что система (2.16) разрешима. При условии, что функция известна, решение можно записать в виде

,

(2.18)

Теперь все готово, для того, чтобы найти функцию . Перейдем к третьему этапу.

3 этап. В системе дифференциальных уравнений (2.11) все функции с аргументом разложим в ряд по приращению аргумента , ограничиваясь слагаемыми порядка , получим

(2.19)

Теперь подставим в уравнения (2.19) в форме (2.14) и просуммируем левые и правые части уравнений, будем иметь

(2.20)

Подставляя вместо и их выражения, полученные на втором этапе получим для уравнение Фоккера-Планка

, (2.21)

где

Нормированным решением полученного одномерного уравнения диффузии [8] является плотность нормального распределения вероятностей с нулевым средним и дисперсией

. (2.22)

3. Исследование нестационарной сети случайного доступа со статическим протоколом в условиях большой задержки

Исследуем сеть связи, функционирование которой изложено в разделе 1, в условиях большой задержки. В этом случае удобнее рассматривать случай, когда интенсивность каждой заявки в ИПВ равна . Структура такой СМО имеет вид рис. 3.1.

Рис. 3.1 – Модель системы массового обслуживания

Вероятности переходов из состояния системы в произвольный момент времени t в состояние за бесконечно малый интервал времени показаны на рис. 3.2, рис. 3.3, рис. 3.4.

Выпишем уравнения статистического равновесия для нестационарного распределения процесса , описывающего функционирование сети

(3.1)

где

Рис. 3.2 – Возможные переходы из состояния

Рис. 3.3 – Возможные переходы из состояния

Рис. 3.4 – Возможные переходы из состояния

Найти точное аналитическое решение системы (3.1) практически невозможно, но можно решить асимптотически в условиях большой задержки, то есть при .

Первое приближение

Для асимптотического решения системы (3.1) сделаем замену переменных . В результате замены производится переход от дискретной переменной к непрерывной переменной .