(21) Y=ВХ

При линейном преобразовании (21) случайного вектора Х корреляционная матрица Y равна Кy=ВКxВT (22)

КОВАРЦИОННАЯ МАТРИЦА.

Если имеется не две, а большее число случайных величин, например, х1, .,хn, то резко возрастает и число числовых параметров, характеризующих эти величины. Кроме n-первых моментов, определяющих математическое ожидание случайных величин необходимо определение еще вторых центральных моментов, представляющих собой дисперсии каждой случайной величины и коварцией между каждой парой случайных величин. Всю совокупность случайных величин Х1, ., Хn, удобно представить в виде случайного вектора столбца:

X1

(23) X= . =(X1, .,Xn)T

Xn

Тогда совокупность математических ожиданий компонент этого вектора запишем в виде вектора математических ожиданий:

x1

(24) X=M[X]= =(x1, .,xn)T

xn

Совокупность вторых центральных моментов, представляющих собой дисперсии:

(25) δ2xi=M[(xi-M[x])2] , i=1, .,n

и коварции

(26) cov(xixj)=M[(xi-M[xi])(xj-M[xj]) ,i, j=1, .,n, i≠j

Удобно записать в виде коварционной матрицы:

(27) Pxx=M[(X-M(X))(X-M(X)T)]

Диагональные члены этой матрицы представляют собой дисперсии. Коварционная матрица является симметричной.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ.

При изучении ряда явлений природы приходится наблюдать процессы, характеризуемые функциями, которые в зависимости от исхода опыта принимают различный вид. Указать заранее на то, какой вид примет случайная функция в данном опыте, невозможно, однако закономерности, присущие множеству значений, принимаемые случайной функцией, как закономерности массового явления можно изучить. Случайная функция как случайная величина, принимает различные значения в зависимости от исхода опыта элементарного события, кроме того, случайная функция зависит от некоторого неслучайного параметра t, например времени.

Если параметр t- время, то случайную функцию называют случайным процессом. Если зафиксировать элементарное событие ω=ω0, то Х(t,ω0) будет неслучайной функцией аргумента t. Конкретный вид случайной функции при фиксированном, т.е. возможном опыте, называется реализацией случайной функции.

Если зафиксировать параметр случайной функции t, т.е. рассмотреть сечение этой случайной функции при t=tk, то она будет зависеть только от элементарного события и, следовательно, станет случайной величиной Х(tk,ω).

Чтобы полностью задать случайную функцию Х(t), надо знать все n-мерные функции распределения: Fn(x1, .,xn; t1, ,tn), которые зависят от n переменных х1, .,хn и значений t1, .,tn, или плотности распределения вероятностей fn.

Важными характеристиками случайных величин являются моменты. Если известна двумерная функция распределения или плотность распределения вероятностей случайной функции, то всегда можно вычислить моменты случайной функции до второго порядка включительно, такими моментами являются математически ожидания;

∞

(1) M[X(t)]= ⌡ xf1[x,t]dx=mx(t)

-∞

дисперсия

∞

(2) D[X(t)]= ⌡ [x-mx(t)]2f1(x,t)dx=D1(t)

-∞

и корреляционный момент:

∞ ∞

(3) Kx(t1,t2)=M[X○(t1)X○(t2)]= ⌡ ⌡ (x1-mx(t1))(x2-mx(t2))

-∞ -∞

f2(x1,x2;t1,t2)dx1dx2, где

(4) X○(t)=X(t)-M[X(t)], центрированная случайная функция.

Если параметру t придавать все возможные значения, то математическое ожидание (1) и дисперсия (2) случайной функции будут функциями одной переменной t, а корреляционный момент (3) функцией двух переменных t1 и t2. Корреляционный момент Кx(t1,t2) называется корреляционной функцией случайной функции Х(t).

Математическое ожидания представляет собой среднее значение случайной функции Х(t)рис 2, а дисперсия характеризует отклонение значений, принимаемых случайной функцией, от ее математического ожидания.

Корреляционная функция характеризует зависимость между случайными величинами Х(t1) и Х(t2)-сечениями случайной функции при t=t1 и t=t2.

x(t)

m(x)

t

Рис 2

Теория, изучающая случайные функции на основе знания первых двух моментов случайных функций, рис 2 называется корреляционной теорией.

Если известны математическое ожидание m(t) и корреляционная функция К(t1,t2) случайной функции Х(t), то всегда можно построить n-мерный вектор математического ожидания многомерной, случайной величины x(t1), .,x(tn) для фиксированных значений t1, t2, .,tn.

(5) mT=[m1, m2, ., mn]

и корреляционную матрицу этой случайной многомерной величины

K(t1,t1) K(t1,t2) . K(t1,tn)

K(t2,t1) k(t2,t2) . K(t2,tn)

(6) K=

K(tn,t1) K(tn,t2) K(tn,tn)

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ.

1. Корреляционная функция при одинаковых значениях аргументов равна дисперсии случайной функции, т.е.

K(t,t)=D(t)

2. При перемене местами аргументов корреляционная функция меняется на комплексно - сопряженную, т.е.

K(t1; t2)=K(t1, t2)

3. Для всякой корреляционной функции справедливо неравенство:

1) K(t1, t2) ≤√ D(t1)D(t2)

4. Корреляционная функция является положительно определенной функцией. Вместо корреляционной функции может быть рассмотрена безразмерная нормированная корреляционная функция R(t1, t2) определяемая равенством;

(t1, t2)

(5) R(t1, t2)=

√ D(t1)D(t2)

Из определения свойств корреляционной функции можно показать, что для нормированной корреляционной функции справедливо состояние:

_

R(t, t)=1 , R(t2,t1)=R(t1,t2) , R(t1,t2)≤1

В теории случайных чисел большую роль играет один из видов случайной функции, математическое ожидание которой равно 0, а корреляционная функция равна дельта функции. Такую случайную функцию называют белым шумом. Для белого шума как это следует из определения, справедливы равенства:

(6) M[X(t)=0

(7) K(t1, t2)=G(t) δ(t1-t2)

Функция G(t) называется интенсивностью белого шума. Дельта-функция при значении аргумента, отличном от 0, равна 0, поэтому для белого шума случайные величины, соответствующие двум сколь угодно близким значениям, являются некоррелированными.