1

Число n компонент вектора называется его размерностью.

СВОИСТВА ВЕКТОРОВ.

а) х=у, если равны их компоненты:

x(i)=y(i)

x(1) y(1) x(1)+y(1)

б) х+у= + = . -сумма векторов.

x(n) y(n) x(n)+y(n)

в) Разность векторов х-у представляет собой вектор z, такой, что у+z=х.

г) умножение вектора на скаляр

x(1) αx(1)

αx[ВЮЮ3] =хα=α . = .

x(n) αx(n)

СКАЛЯРНОЕ ПРИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

x1 y1

Пусть х= х2 и у= у2 два вектора в трех мерном

x3 y3

пространстве. Скалярным произведением этих векторов называют скалярную величину:

(11) хTу=уTх=х1у1+х2у2+х3у3

Нормой или длинной вектора х в евклидовом пространстве называют число:

(12) х = х =(хTх)½ , где х -норма вектора х.

Линейное пространство в котором определено скалярное произведение называется евклидовым пространством.

БАЗИС ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА.

Пусть имеем систему векторов

(13) х1, х2, х3, ., хn

Базисом (базой) системы векторов (13) называется такая линейно-независимая ее подсистема, через которую линейно выражаются все указанные векторы.

УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ВЕКТОРЫ.

Пусть х=(х1, х2) и у=(у1, у2) - два вектора на плоскости. Выберем систему координат так, чтобы ось абсцисс совпадала с направлением вектора х, так что x1= x , х1 =0 (рис.3)

2

y2 y

α x

y1 1

обозначим через угол α между векторами х и у при этом

хTу=х1у1+х2у2= х * у cosα

Угол между векторами определяется:

α=arccos(xTy/ x y )

при │х│=1 скалярное произведение хTу определяет проекцию вектора у называется ортогональным, если угол между ними равен 90○, т.е.

если хTу=0.

МАТРИЦЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.

ПОНЯТИЕ МАТРИЦ.

Матрицей А размером m*n называют таблицу, содержащую m-строк и n-столбцов, элементами которой являются вещественные или комплексные числа

a11 a1n

A= =[aij]

am1 amn

Если m=n, то матрицу называют квадратной.

Матрицы А=[аij] и В=[вij] равны (А=В) в том и только в том случае, если имеют один и тот же размер аij=вij для всех ij.

Преобразованием линейного n-мерного пространства Х называют оператор А, отображающий это пространство в m - мерное линейное пространство Y:

(1) А:Х→Y

Таким образом, преобразование А ставит в соответствие каждому вектору х пространства Х вектор

(2) Y=А-х, пространства Y.

Преобразование А называют линейным, если выполняется условие:

(3) А(х1+х2)=Ах1+Ах2, А(ℷхi)=ℷАх

Условие (3) будет выполнятся, если между компонентами хi и уj векторов х и у имеется линейная зависимость вида:

n _

(4) у(i)= ∑ aijx(j), i=1,m ,где аij - произвольное число

j=1 _

Совокупность чисел аij, i=1,m; ;j=1,n образуют матрицу:

a11 a1n

A= = [aij]

am1 amn

которую называют матрицей линейного преобразования.

у=Ах можно записать в виде умножения матрицы на вектор:

y(1) a11 a1n x(1)

(5) = . * .

y(n) am1 amn x(n)

ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА ЧИСЛО.

Пусть А матрица линейного преобразования Ах, α- число.

(6) αА=[α аij ]

При умножении матрицы А на число α все ее члены умножаются на это число.

СУММА МАТРИЦ.

Пусть у=Ах и v=Вх - два линейных преобразования с матрицами А=[aij] и В=[вij] размером m*n.

Рассмотрим новое линейное преобразование, ставшее в соответствие каждому вектору х∈Х вектор у+v∈Y

(7) у+v=Ах+Вх=(А+В)х

Преобразование (А+В)х называют суммой линейных преобразований Ах и Вх, или:

(8) А+В=[aij]+[вij]

При сложении двух матриц одинакового размера получается новая матрица того же размера, элементы которой равны сумме элементов складываемых матриц.

ПРОИЗВЕДЕНИЕ МАТРИЦ.

Пусть X,Y,Z-линеиные пространства размерностью m, r, n и пусть у=Вх, z=Ау - линейные преобразования пространства Х в пространство Y, и пространства Y в пространство Z, где В=[вkj] и A=[aik] матрицы размером m*k и k*n соответственно. Произведением преобразований Ау и Вх называют новое линейное преобразование Сz.

(9) Z=Cx=A(Bx)=ABx

Матрицу С=АВ размером n*n называют произведением матриц А и В.

n _ _

(10) Сij= ∑ аikвkj , i=1,n , j=1,m

k=1

Согласно (10) элемент Сij матрицы С представляет собой скалярное произведение i-й строки матрицы А на j-й столбец матрицы В, так что произведение матриц АВ символически может быть представлено в виде:

a11 .a1k в11 .в1m