U

x(t)=U(V)dVq(t-V)

V Ʈ=t-V

t

Элементарный входной и выходной сигналы при разложении на импульсы.

ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА.

Пусть система A линейна и стационарна и пусть h(*) является ее импульсной реакцией.

Предположим, что существует преобразование Лапласа для h. Тогда это преобразование

∞

(37) H(S) ≜ ⌡ e-st h(t) dt

-∞

называется передаточной функцией H системы A.

Передаточная функция является оператором, характеризующим передачу сигнала линейным передаточным звеном, путем умножения которого, на изображении входного сигнала получается преобразованный

входной сигнал звена, имевшего до этого рабочую точку q=0.

В случае системы со многими входами и выходами передаточная функция становится матричной передаточной функцией H(S);

ее (i,j)- представляет собой преобразование Лапласа для hij(t), т.е. для установившегося режима i-го выхода на единичный импульс, приложенный к j-му входу в момент t=0.

Пусть - линейная стационарная система, и пусть H(S)- ее передаточная функция. Если y является реакцией системы при нулевом состоянии на входе воздействия U, то

(38) Y(S)= H(S) V(S)

где Y и V - преобразования Лапласа для y и U.

Передаточная функция H(S) идентична весовой функции g(t), преобразованной по Лапласу.

1.5 ОБЪЕКТЫ УПРАВЛЕНИЯ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ.

В случае, когда одна или более переменных могут наблюдаться только периодически, причем период наблюдения достаточно мал, так то все переменные можно восстановить с приемлемой точностью по их квантованным значениям, можно записать уравнения рассматриваемой

системы для дискретных (квантованных) значений для всех переменных. Иными, словами в качестве такой системы берется дискретная по времени система.

Исследование дискретных систем во многом подобно исследованию непрерывных систем.

Преобразование непрерывных систем в дискретные.

Пусть дана непрерывная система Y с уравнениями состояния

(1) x= Ax + Bu;

(2) y= Cx + Du, где

A,B,C,D суть (n*n), (n*r), (p*n) и (p*r)- постоянные матрицы

соответственно.

Предположим, что компоненты входного вектора замеряются периодически и фиксируются (сохраняются неизменными) в течении каждого интервала (kT,(k+1)T), где k= .,-1,0,1 .

U y

рис.1

На рисунке 1 показано, что такая операция над входным вектором реализуется с помощью блока квантования, включенного между входом U и системой Y.

Если α(t) является входом блока квантования, то его выход α0 будет ступенчатой функцией

α0(t)=α(kT), kT<t≤(k+1)T

Будем полагать, что вход измеряется через каждые T секунд, где T- период повторения или период квантования. Вход системы задается последовательностью векторов {Uk}, причем Uk=U(kT+).

Период повторения T выбирается достаточно малым, так что интерполирование последовательностей {xk}, {yk}, где xk= x(kT+), yk= y(kT+), определяет функции x(t), y(t) с приемлемой точностью для всех t. По этой причине имеет

смысл искать зависимости между последовательностями {xk},{yk} и входной последовательностью. Наиболее удобно представить такие последовательности в виде рекуррентных соотношений выражающих xk+1 и yk+1 через xk и Uk . Используя выведенные ранее уравнения и вводя обозначение:

(3) F=exp AT,

T

(4) G=( ⌡ [exp(AƮ)]dƮ)B, получим

0

получим

(5) xk+1= Fxk+Cuk

(6) yk+1= Cxk+1+Duk+1

Выражения (5),(6) являются уравнениями состояния дискретной системы, вход, выход и состояние которой определяется последовательностями векторов {uk}, {xk}, {yk} соответственно. Поскольку A,B,C,D постоянные матрицы, эта система линейна и стационарна.

Из (5) можно найти xk как функцию начального состояния x0 и последовательности {Ui}r-1

k-1

(7) xk=Fkx0+ ∑ FiGUk-i-1, k=1,2,3, .

i=0

РЕШЕТЧАТЫЕ ФУНКЦИИ.

Функции, определенные только в некоторых точках t1,t2 и т.д называются решетчатыми.

Пусть t= nT- равностоящие точки, где n- любое целое число, а T- постоянная, называемая периодом дискретности.

Тогда определенные в этих точка функции f[nT]

f[nT]

Любой f(t)- непрерывной можно

поставить в соответствие некоторое множество решетчатых функций, если представить переменную t=nT+ℰT (0≤ℰ≤1). При каждом фиксированном значении р переменной функцию f(nT+ℰT)

-4T -3T -2T -T 0 T 2T 3T 4T nT

можно рассматривать как функцию, определенную в точках ℰT, (ℰ+1)T, (ℰ+2)T, Такие функции называются смешанными решетчатыми функциями. f(nT+ℰT)=f[nT,ℰT]