Это свойство является ключевым в понятии состояния. Второе условие собственной совместимости.

Если уравнения вход - выход-состояние удовлетворяется при подстановке пары (U[t0,t],у[t0,t]), тогда оно удовлетворяется при подстановке всех пар вида (U[t,t1], у[t,t1]), где t0<t≤t1, а U[t,t1] и у[t,t1] являются сегментами U[t0,t], и у[t0,t] соответственно. Это должно выполняться для всех α и ∑ и всех пар вход-выход, относящихся к α.

Пусть (UU',yy') - пара вход-выход, удовлетворяющая уравнению вход - выход-состояние (2') при α=α0. Тогда можно записать: yy'= A (α0,UU'), где U',y' вход и выход на интервале [t,t0]

Утверждение, что (U',y') удовлетворяет уравнению вход - выход-состояние (2'), будет эквивалентно утверждению, что существует не пустое множество Q значений α в ∑, при которых выражение y=A(α;U') удовлетворяется для всех α в Q.

Тогда в качестве состояния объекта A в момент t может быть принято любое состояние α в Qt (α0,U) при α0-состояние в момент t0 или, что тоже самое, начальном состоянии A.

Состояние A в момент времени t будет обозначаться S(t).

Когда будет необходимо показать, что S(t0) является начальным состоянием объекта A, уравнение вход - выход-состояние будет записываться в виде:

(4) y(t)= A(S(t0);U[t0,t])

S(t0) и, в более общем случае S(t) изменяются в пространстве состояний ∑, т.е. для каждого фиксированного значения t, R[S(t)]=∑.

Если выполнены условия совместимости, то можно утверждать, что состояние S(t) однозначно определяется состоянием S(t0) и входом U[t0,t] и что функциональная зависимость S(t) от S(t0) и U[t0,t] может быть получена из уравнения вход - выход-состояние:

y(t)= A( S(t0); U[t0,t]), где α0=S(t0) (4)

Выражение S(t) как функция S(t0) и U[t0,t] называется уравнением состояния объекта.

(5) S(t)= S (S(t0);U[t0,t]), где

S- функция со значением в ∑.

Уравнение (5) производное от уравнения вход - выход-состояние (4).

Природа пространства состояний ∑ объекта является одной наиболее важных его характеристик. Если ∑ есть континуум, то будем говорить, что А есть объект с непрерывным пространством состояний.

Если ∑ есть счетное множество, A будет называться объектом с дискретным пространством состояний.

Если ∑ есть конечное множество, то А есть объект с конечным пространством состояний.

Вероятностные или стохастические объекты- объекты в которых для каждого t y(t) является случайной переменной. Для таких объектов уравнения вход-выход- состояние (4), заменяется уравнением вход-выход- распределение состояний, которое определяет вероятностную меру в пространстве y[t0,t] как функцию начального состояния S(t0) и входа U[t0,t] .

Графическое представление систем.

U1 у1 U1 S у1

Uк ук Uк ук

Представление объекта в виде блок-диаграмм

1.4 ОБЪЕКТЫ УПРАВЛЕНИЯ С НЕПРЕРЫВНЫМ

ВРЕМЕНЕМ.

Дифференциальные уравнения состояния:

(1) Ś(t)= A(t)S(t)+B(t)U(t)

(2) у(t)= C(t)S(t)+D0(t)U(t)+D1(t)U(1)(t)+ .+Dк(t)U(к)(t)

Коэффициенты этих уравнений являются матрицами.

A- матрица состояний [n*n]

B- матрица входа [m*n]

C- матрица выхода [L*m]

D- проходная матрица [L*m]

Пусть А- непрерывная система, заданная уравнением входа-выхода вида:

Lу+Kŷ=Mu, где L,K,M- матричные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами, u,у - входной и выходной векторы, а ŷ -скрытый выходной вектор.

Соотношения вход - выход-состояние.

В процессе установления соответствия вектора состояния с системой и связанного с этим определения соотношения вход - выход-состояние системы, описываемой дифференциальными уравнениями, состоит в нахождении общего решения этого дифференциального уравнения.

(2) L(p)y=u, L(p)=anpn+ .+a0, an≠0, которое описывает R.

Решить дифференциальное уравнение можно с помощью методов, хорошо известных из теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако будет удобно основываться не на классической теории, а получить общее решение сразу, путем преобразования Лаплпса.

Пусть R- система, описываемая соотношением вход-выход (2), тогда выражение для общего решения будет иметь вид:

n t

(3) y(t)= ∑ y(ℷ-1)(t0-)Фℷ(t-t0)+ ⌡ h(t-ℰ)U(ℰ)dℰ t≥t0,

ℷ=1 t0

где h(t)=Z {1/L(S)}= импульсной реакции R

(4) H(S)=1/L(S)= передаточная функция R,

Фℷ=Z-1{(anSn-ℷ+ .+aℷ)/L(S)}, ℷ=1, .,n

Функции времени Ф1, .,Фn линейно независимы и удовлетворяют дифференциальному уравнению

L(p)Фℷ(t)=0, ℷ=1, .,n

На втором этапе необходимо отождествить постоянные ai, i=1, ,n из уравнения (2) с составляющими вектора x(t0-) - состояние R в момент времени t0-.

Положим базисные функции, или точнее говоря их преобразования по Лаплпсу, равными:

Sn-1/L(S), .,S/L(S),1/L(S)

В этом случае составляющим x(t0) будет:

(5) x1(t0-)=any(t0-),

x2(t0-)=any(n-1)(t0-)+a1y(t0-)

xn(t0-)=any(n-1)(t0-)+ .+an-1y(t0-)

Заменяя начальные значения y(ℷ-1)(t0-) в (3) через их выражения, представленные с помощью составляющих x(t0-), получим для общего решения (3)

t

(6) y(t)=<(t-t0), .,x(t0-)>+ ⌡ h(t-ℰ)U(ℰ)dℰ, t≥t0

t0

где h- импульсная реакция R

Ф(t)=(Ф1(t), .,Фn(t)); составляющие которого суть базисные функции:

Фℷ(t)= Z-1{ (anℷn-1+ .+ aℷ)/L(S) },

а <Ф(t-t0), x(t0-)> обозначает скалярное произведение базисного

вектора Ф(t-t0) и начального вектора состояния x(t0-).

Уравнение (6) является соотношением вход - выход-состояние для R.

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ МАТРИЦА.

Будем исследовать реакцию при нулевом входе и вынужденную реакцию систем, описываемых уравнением вида:

(11) x(t)= A(t)x(t)+B(t)U(t), где

A(t)- квадратная матрица порядка n, элементами которой являются функции, непрерывные для всех значений t; B(t)-непрерывная матрица размером [n*r]; x(t) - вектор состояния, U- вход.

Пусть A(t) есть квадратная матрица порядка n, элементы которой - непрерывные функции. Тогда решение матричного дифференциального уравнения:

(12) X= A(t)X(t), X(t0)=C, где

C есть произвольная постоянная матрица, имеет следующий вид: