Теорема (*). Пусть , - исчерпывающая последовательность разбиений X, причем - минимальная s-алгебра, содержащая все и П(N) - ортогональный проектор , определенный равенством ,

Тогда

1) для любого -измеримого изображения и почти для всех , ,

2) для любого изображения при (в ), где П - ортогональный проектор на .

Доказательство. Первое утверждение непосредственно следует из леммы (*) и определения . Для доказательства второго утверждения заметим, что, так как A(N+1) - продолжение разбиения A(N), N=1,2, ., то последовательность проекторов П(N), N=1,2, ., монотонно неубывает: и потому сходится (поточечно) к некоторому ортогональному проектору П. Так как - множество всех -измеримых изображений и их пределов (в ), а в силу леммы (*) для любого -измеримого изображения

, то для любого изображения и для любого , ибо -измеримо, N=1,2, . n

Вопрос о том, каким образом может быть построена исчерпывающая последовательность разбиений, обсуждается в следующем пункте.

Заданы векторы f1, .,fq, требуется определить разбиение , на множествах которого наилучшее приближение принимает соответственно значенния f1, .,fq. Рассмотрим задачу приближения цветного изображения f(×), в которой задано не разбиение поля зрения X, а векторы в , и требуется построить измеримое разбиение поля зрения, такое, что цветное изображение - наилучшая в аппроксимация f(×). Так как

, (14*)

то в Ai следует отнести лишь те точки , для которых , =1,2, .,q, или, что то же самое, =1,2, .,q. Те точки, которые согласно этому принципу могут быть отнесены к нескольким множествам, должны быть отнесены к одному из них по произволу. Учитывая это, условимся считать, что запись

, (14)

означает, что множества (14) не пересекаются и .

Чтобы сформулировать этот результат в терминах морфологического анализа, рассмотрим разбиение , в котором

(15)

и звездочка указывает на договоренность, принятую в (14). Определим оператор F, действующий из в по формуле , , i=1, .,q. Очевидно, F всегда можно согласовать с (14) так, чтобы включения и , i=1, .,q, можно было считать эквивалентными. [8]

Теорема 2. Пусть - заданные векторы Rn. Решение задачи

наилучшего в приближения изображения f(×) изображениями имеет вид , где - индикаторная функция множества . Множество определено равенством (15). Нелинейный оператор , как всякий оператор наилучшего приближения удовлетворяет условию F2=F, т.е. является пректором.

Замечание 2. Если данные задачи доступны лишь в черно-белом варианте, то есть заданы числа , i=1, .,q, которые можно считать упорядоченными согласно условию , то, как показано в [3], искомое разбиение X состоит из множеств