Определив , мы сможем из (82) найти :

, (93)

где А – произвольная постоянная, - определяется равенством (83). Отсюда интегрируя обе части (85) получим:

, (94)

(86) – есть формула Чизотти для конечных трехсвязных областей.

Итак, интегральная формула Чизотти для конечных трехсвязных областей имеет вид:

где А и В – постоянные, определяемые из нормировки функций: ,,>0.

Если , то и - две интегральные формулы Пуассона для заданных трехсвязных областей.

Если , то

,

где , (Шварц, 1869),

, (Александров-Сорокин, 1972),

Формулу (87) назовем интегральными формулами Дирихле-Чизотти для рассмотренных областей , а формулы (88) – интегралами типа Шварца, а реальные и мнимые части от функции - интегральными формулами типа Пуассона.

Аналогичные формулы мы получим и для неконцентрического кругового кольца, и для внешности и окружностей [4].

Рассмотренные выше формулы (86) – (88) – очень эффективны, когда - правильные многоугольники (формулы Кристоффеля-Шварца-Дирихле для рассмотренных областей).

Замечание 1. Так как заданные функции - являются быстро сходящимися рядами (см. §3, формулы (37) – (48)), то все рассмотренные интегральные формулы можно с успехом использовать и для приближенного решения соответствующих граничных задач.

Замечание 2. Так как решение задачи Неймана сводится к решению задачи Дирихле для сопряженной однозначной гармонической функции, мы рассмотрели только задачу Дирихле.

Замечание 3. Классические краевые задачи являются частными случаями задачи:

Найти регулярное в области решения эллиптического уравнения

, (97)

удовлетворяющие на границе условию

, (98)

где - производная по некоторому направлению, а - заданные непрерывные на функции, причем всюду на и

1. при , - задача Дирихле;

2. при , - задача с косой производной, которая переходит в задачу Неймана, если направление совпадет с направлением по нормали.

Литература.

1. М.А.Лаврентьев, В.В.Шабат. "Методы теории функции комплексного переменного". М. 1965.

2. Х.Т.Тлехугов. "Формула Чизотти для кругового кольца". Труды ВЦАН Груз. ССР 1973. т.XII вып.I, стр.218-222.

3. Д.А.Квеселава, Х.Т.Тлехугов. "Формула Чизотти для многосвязных круговых областей". ВЦАН Груз. ССР 1977. т.XVI, вып.I, стр.256-260.

4. Х.Т.Тлехугов. "Формула Чизотти для (n+1) – связных бесконечных областей". Труды ВЦАН Груз. ССР 1980. т.XX вып.I, стр.219-224.

5. И.А.Александров, А.С.Сорокин. "Задача Шварца для многосвязных областей". СМЖ. 1972. т.XIII. 5., стр.970-1001.

6. А.В.Бицадзе. "Основы ТАФКП". М. 1984.

7. Н.И.Ахиезер. "Элементы теории эллиптических функций". М. 1970, стр.9-34; 179-190; 224-229.

8. В.И.Смирнов. "Курс высшей математики". т.3 часть вторая, изд. 6. М. 1956, стр.182-184.

9. Л.В.Канторович, Крылов. "Приближенные методы высшего анализа". М.-Л., 1962, стр.584-645.

10. Ф.Д.Гахов. "Краевые задачи". М. 1977. изд. 3.

11. И.И.Привалов. "Граничные свойства аналитических функций". М.-Л. 1950.

12. Математическая энциклопедия. т.1-5. 1977-85.

13. В.А.Змарович. "О структурных формулах теории специальных классов АФ". Известия Киевского политехнического института. т.15, стр.126-148.

14. Х.Т.Тлехугов. "О применении формулы Чизотти к приближенному отображению с особой нормировкой". Сообщения АН Груз. ССР, 1981. т.101. 1., стр.21-24.

15. Х.Т.Тлехугов. "О приближенном конформном отображении методом растяжения". Известия АН Азер. ССР, 1977. 5., стр.37-40.