,

,

, , , [4];

В случае круга:

.

Круговое кольцо:

,

где - функция Вейерштрасса, , , , - некоторые постоянные, определяемые из нормировки отображений функций , , - периоды функции .

Формулу (53) назовем интегральными формулами Дирихле-Чизотти для областей , или решениями задачи Дирихле для рассматриваемой области или интегральными формулами Пуассона для соответствующих канонических областей .

б) О решении задачи Дирихле методом Чизотти

для многосвязных областей

Как мы знаем, решение задачи Дирихле для произвольных многосвязных областей найти явное и эффективное решение трудоемкая или невозможная проблема.

Поэтому более эффективное нахождение краевых задач представляет немаловажный интерес в теории аналитических и гармонических функций для многосвязных областей ( неконцентрического кругового кольца, внешности двух кругов и для конечных двух-трехсвязных областей и т.д.) используя интегральную формулу Чизотти для заданных соответствующих областей.

1. Построим функцию , дающую конформное отображение на , где , ; ():

, (57)

где и - постоянные, определяется однозначно по формуле Шварца для соответствующих заданных областей.

Пусть - регулярная функция в . Так как подинтегральное выражение (57) представимо по формуле Эйлера в следующем виде:

, то

(58)

С учетом (58) интегральная формула (57) примет вид:

.

где и - постоянные (к=1,2).

Формулу (59) можно назвать интегральной формулой Дирихле-Чизотти для конечных многосвязных областей, т.к. формула (57) есть интегральная формула Чизотти для конечных многосвязных круговых областей.

Если найден и от известного интегрального выражения ):

, т.е.

; (60)

,

то мы получим решение граничной задачи Пуассона для канонических (конечных, бесконечных) областей .

2. Если область - концентрическое круговое кольцо, то

, (61)

где - заданная функция - функция Вейерштрасса, то мы имеем интегральную формулу Вилля-Шварца (61) в компактной контурной форме.

Из (61) получим:

, (62)

, (63)

где , , , .