1. Определители второго и третьего порядков и их свойства

1.1. Понятие матрицы и определителя второго порядка

Прямоугольную таблицу из чисел, содержащую произвольное число т строк и произвольное число и столбцов, называют матрицей. Для обозначения матрицы используют либо сдвоенные вертикальные черточки, либо круглые скобки. Например:

1 7 9.2 1 7 9.2

28 20 18 28 20 18

-6 11 2 -6 11 2

Если число строк матрицы совпадает с числом ее столбцов, то матрица называется квадратной. Числа, входящие в состав матрицы, называют ее элементами.

Рассмотрим квадратную матрицу, состоящую из четырех элементов:

(3.1)

Определителем второго порядка, соответствующим матрице (3.1), называется число, равное - и обозначаемое символом

Итак, по определению

= - (3.2)

Элементы, составляющие матрицу данного определителя, обычно называют элементами этого определителя.

Справедливо следующее утверждение: для того чтобы определитель второго порядка был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы элементы его строк (или соответственно его столбцов) были пропорциональны.

Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что каждая из пропорций / = / и / = / эквивалентна равенству = , а последнее равенство в силу (3.2) эквивалентно обращению в нуль определителя.

1.2. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Покажем, как применяются определители второго порядка для исследования и отыскания решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

+ = , + = (3.3)

(коэффициенты , , , и свободные члены , считаются при этом заданными). Напомним, что пара чисел , называется решением системы (3.3), если подстановка этих чисел на место и в данную систему обращает оба уравнения (3.3) в тождества.

Умножая первое уравнение системы (3.3) на -, а второе — на - и затем складывая полученные при этом равенства, получим

( - ) = - (3.4)

Аналогично путем умножения уравнений (3.3) на - и соответственно получим:

( - ) = - (3.5)

Введем следующие обозначения:

= , = , = . (3.6)